第五学期 · 第1章 · 量子力学 I Quantum Mechanics I

量子力学起源 Origins of Quantum Mechanics

🎯 学习目标 Learning Objectives

学完本章后，你将能够：

说明 19 世纪末经典物理 (classical physics) 的三大实验危机——黑体辐射 (blackbody radiation)、光电效应 (photoelectric effect)、原子光谱 (atomic spectra)——为何无法用麦克斯韦电磁学与牛顿力学解释。
由普朗克能量子假设 \(E=N\,h\nu\)（Planck's quantum hypothesis, \(h=6.626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\)）导出黑体谱，解释它如何消除紫外灾难 (ultraviolet catastrophe)。
应用爱因斯坦光子模型 (Einstein's photon model) 处理光电效应：\(K_{\max}=h\nu-\phi\)，求阈频 \(\nu_{0}=\phi/h\) 与截止波长 \(\lambda_{0}=hc/\phi\)。
计算康普顿散射 (Compton scattering) 的波长偏移 \(\Delta\lambda=(h/mc)(1-\cos\theta)\)，并由此说明光子携带动量 \(p=h/\lambda\)。
推导玻尔模型 (Bohr model) 的能级 \(E_{n}=-13.6\,\mathrm{eV}/n^{2}\) 与轨道半径 \(r_{n}=n^{2}a_{0}\)，用里德伯公式 (Rydberg formula) 预言氢光谱线。
由德布罗意关系 \(\lambda=h/p\) 求粒子的物质波波长，理解波粒二象性 (wave-particle duality)，并由戴维孙–革末实验 (Davisson–Germer) 加以印证。
辨析每个结果如何独立指向能量与角动量的量子化 (quantization of energy and angular momentum)——从而为下一章薛定谔方程 (Schrödinger equation) 做好铺垫。

📖 核心概念 Core Concepts

1. 经典物理的失败 The Failure of Classical Physics

1900 年前后，经典力学 (classical mechanics)、电磁学 (electromagnetism)、热力学 (thermodynamics) 看似已经完备，但若干实验结果与经典理论给出尖锐矛盾：

黑体辐射 (blackbody radiation)： 任何经典统计（能量均分定理）都预言高温物体在短波（紫外）端辐射功率发散——所谓"紫外灾难" (UV catastrophe)；实验测得的谱却是一个有峰的有限曲线。
光电效应 (photoelectric effect)： 经典波理论预言电子的动能应随光强增大、与频率无关；实验却显示动能只依赖频率，且存在截止频率——光再强也不出电子。
原子光谱 (atomic spectra)： 经典电磁理论断言绕核旋转的电子会持续辐射电磁波、在 \(10^{-11}\,\mathrm{s}\) 内坠入原子核，且发射连续谱；实验显示原子稳定、发射离散的线状光谱。
固体比热 (specific heat of solids)： 经典均分定理预言所有固体高温摩尔比热均为 \(3R\)（Dulong–Petit 定律），但低温下实测远低于此——表明低温下自由度被"冻结"。

这些危机的共同根源是：经典物理允许能量连续取值，而自然界似乎只在离散的"量子"上交换能量。本章按历史顺序逐一展开。

classical physics (经典物理), blackbody radiation (黑体辐射), UV catastrophe (紫外灾难), photoelectric effect (光电效应), line spectrum (线状光谱)

2. 黑体辐射与普朗克公式 Blackbody Radiation & Planck's Law

一个黑体 (blackbody) 是吸收所有入射辐射、并按温度发射连续谱的理想物体（实验上用空腔上的小孔近似）。其光谱辐亮度 (spectral radiance) \(B(\lambda,T)\) 定义为单位波长、单位立体角、单位面积所发出的功率。实验曲线：

在长波段 \(B\propto\lambda^{-4}\)（与瑞利–金斯公式一致）；
在 \(\lambda=\lambda_{\max}\) 处出现峰值，温度升高时 \(\lambda_{\max}\) 变短（Wien 位移定律）；
总辐射功率随温度急剧增大（Stefan–Boltzmann 定律 \(j^{\ast}=\sigma T^{4}\)）。

瑞利–金斯公式 (Rayleigh–Jeans) 用经典能量均分给出每模式能量 \(kT\)，导得：

\[ B_{\text{RJ}}(\lambda,T)=\frac{2ckT}{\lambda^{4}} \]

它在长波段与实验吻合，但当 \(\lambda\to 0\) 时发散——紫外灾难。1900 年普朗克 (Max Planck) 发现，若假设腔壁振子的能量只能取离散值 \(E_{n}=n\,h\nu\)（\(n=0,1,2,\dots\)），并对玻尔兹曼分布求平均，每个模式的平均能量不再是 \(kT\)，而是：

\[ \langle E\rangle=\frac{h\nu}{e^{h\nu/kT}-1} \]

代入电磁模密度 \((8\pi/\lambda^{4})\,(\mathrm{d}\nu)\) 并换算到 \(B(\lambda,T)\)，即得普朗克公式：

\[ \boxed{\;B(\lambda,T)=\frac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\,\frac{1}{e^{hc/(\lambda kT)}-1}\;} \]

它在全部波长上与实验吻合。注意：当 \(h\nu\ll kT\)（低频/长波），\(e^{x}\approx 1+x\)，\(\langle E\rangle\to kT\)，回归 Rayleigh–Jeans；当 \(h\nu\gg kT\)，平均能量被指数压低，自动消除灾难。普朗克常数 (Planck's constant) \(h=6.626\,070\,15\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\)（2019 年 SI 精确值）就此进入物理。

对 \(B(\lambda,T)\) 求 \(\partial B/\partial\lambda=0\)，得峰值波长满足 \(hc/(\lambda_{\max}kT)\approx 4.965\)，即Wien 位移定律 (Wien's displacement law)：

\[ \lambda_{\max}\,T=b,\qquad b=2.898\times10^{-3}\,\mathrm{m\,K} \]

对全波长积分，得Stefan–Boltzmann 定律 (Stefan–Boltzmann law)：单位面积总辐射功率（辐射出射度，radiant exitance）

\[ j^{\ast}=\sigma T^{4},\qquad \sigma=5.670\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}} \]

Planck's constant \(h\) (普朗克常数), spectral radiance \(B(\lambda,T)\) (光谱辐亮度), Wien's displacement law (Wien 位移定律), Stefan–Boltzmann law (Stefan–Boltzmann 定律), Rayleigh–Jeans law (瑞利–金斯定律)

3. 光电效应与光子 Photoelectric Effect & the Photon

金属中的电子 (electron) 被束缚在金属内，至少需克服逸出功 (work function) \(\phi\) 才能逃逸。1887 年赫兹发现：用光照射金属，发射电子（光电子 photoelectron）的最大动能 \(K_{\max}\) 与光强无关，而与光的频率成线性关系；存在截止频率 (threshold frequency) \(\nu_{0}\)，低于此频率无论光多强都没有光电子。经典波理论完全无法解释。

1905 年爱因斯坦 (Einstein) 大胆假设：光本身由能量为 \(E=h\nu\) 的光子 (photon) 组成，光强对应光子数密度而非波振幅。一个光子把全部能量 \(h\nu\) 交给一个电子，电子消耗 \(\phi\) 离开金属，多余能量成为动能。由此得爱因斯坦光电方程：

\[ \boxed{\;K_{\max}=h\nu-\phi\;}\qquad\text{或}\qquad K_{\max}=\frac{hc}{\lambda}-\phi \]

令 \(K_{\max}=0\) 得阈频 \(\nu_{0}=\phi/h\) 与截止波长 \(\lambda_{0}=hc/\phi\)。光强只决定每秒光子数（从而饱和光电流 \(I\propto\text{光强}\)），不改变单个电子的动能。爱因斯坦因此获 1921 年诺贝尔物理学奖。密立根实验 (Millikan, 1916) 精确验证了 \(K_{\max}\)–\(\nu\) 直线，斜率正是 \(h\)。

photon (光子), work function \(\phi\) (逸出功/功函数), threshold frequency \(\nu_{0}\) (阈频/截止频率), photoelectron (光电子), Einstein's photoelectric equation (爱因斯坦光电方程)

4. 康普顿散射与光子动量 Compton Scattering & Photon Momentum

如果光子是真正的粒子，它不仅带能量，还应带动量。由相对论能量–动量关系 \(E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\) 与光子静质量 \(m_{0}=0\)、能量 \(E=h\nu\)，得光子动量：

\[ p=\frac{E}{c}=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda} \]

1923 年康普顿 (Arthur Compton) 把 X 射线射向自由（或弱束缚）电子，测量散射光波长。结果：散射光波长相对入射光变长，且偏移量只依赖散射角 \(\theta\)，与靶物质无关。把散射当作光子–电子相对论弹性碰撞处理（能量守恒 + 动量守恒），他推出康普顿偏移 (Compton shift)：

\[ \boxed{\;\Delta\lambda=\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_{e}c}\,(1-\cos\theta)=\lambda_{\mathrm{C}}\,(1-\cos\theta)\;} \]

其中 电子康普顿波长 \(\lambda_{\mathrm{C}}=h/(m_{e}c)=2.426\times10^{-12}\,\mathrm{m}=2.43\,\mathrm{pm}\)。在 \(\theta=180^{\circ}\)（背散射）时偏移最大，\(\Delta\lambda_{\max}=2\lambda_{\mathrm{C}}=4.86\,\mathrm{pm}\)。康普顿散射无可辩驳地证明光子携带动量，与光电效应一起确立了光的粒子性。

Compton scattering (康普顿散射), photon momentum \(p=h/\lambda\) (光子动量), Compton wavelength \(\lambda_{\mathrm{C}}\) (康普顿波长), elastic collision (弹性碰撞)

5. 玻尔模型 Bohr Model of the Atom

1913 年玻尔 (Niels Bohr) 为氢原子 (hydrogen atom) 提出半经典模型，假设：

电子在库仑引力下做圆周轨道运动：\(m_{e}v^{2}/r=(1/4\pi\varepsilon_{0})\,e^{2}/r^{2}\)；
角动量量子化 (quantized angular momentum)：\(L=m_{e}vr=n\hbar\)，\(n=1,2,3,\dots\)；
电子在轨道上不辐射；只在跃迁 \(n_{i}\to n_{f}\) 时发射/吸收光子，频率满足 \(h\nu=E_{i}-E_{f}\)。

解得轨道半径与能级（推导见下节）：

\[ r_{n}=n^{2}a_{0},\qquad a_{0}=\frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m_{e}e^{2}}=0.529\,\text{Å}=5.29\times10^{-11}\,\mathrm{m}\quad(\text{玻尔半径 Bohr radius}) \]

\[ \boxed{\;E_{n}=-\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^{2}}\;}\qquad n=1,2,3,\dots \]

跃迁 \(n_{i}\to n_{f}\)（\(n_{i}>n_{f}\)）发射光子的波长由里德伯公式 (Rydberg formula) 给出：

\[ \frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\!\left(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\right),\qquad R_{\infty}=1.097\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}} \]

\(n_{f}=1\) 为 Lyman 系（紫外），\(n_{f}=2\) 为 Balmer 系（可见光），\(n_{f}=3\) 为 Paschen 系（红外）。玻尔模型精确重现了氢光谱所有已知线系，并预言了新的——这是量子化思想的第一个胜利。

Bohr radius \(a_{0}\) (玻尔半径), energy level (能级), Rydberg formula (里德伯公式), Lyman/Balmer/Paschen series (莱曼/巴耳末/帕邢线系), quantization (量子化)

6. 德布罗意波与波粒二象性 de Broglie Waves & Wave-Particle Duality

1924 年德布罗意 (Louis de Broglie) 提出对称猜想：既然光波具有粒子性，实物粒子也应具有波动性。每个动量为 \(p\) 的粒子对应一种物质波 (matter wave)，波长为：

\[ \boxed{\;\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{mv}\;}\qquad\text{(de Broglie wavelength, 非相对论)} \]

对爱因斯坦关系 \(E=h\nu\) 与 \(p=h/\lambda\) 的对称写法为 \(E=\hbar\omega\)、\(p=\hbar k\)（\(k=2\pi/\lambda\)）。德布罗意进一步指出：把电子在玻尔轨道上看作驻波 (standing wave)，要求周长容纳整数个波长 \(2\pi r=n\lambda\)，代入 \(\lambda=h/(m_{e}v)\) 即得 \(m_{e}vr=n\hbar\)——这正是玻尔凭空假设的角动量量子化条件！物理图像立刻自洽。

1927 年戴维孙–革末实验 (Davisson–Germer) 把电子束射向镍单晶，观察到与 X 射线衍射类似的布拉格峰 (Bragg peak)。测出的电子波长恰与德布罗意预言一致（约 \(0.165\,\mathrm{nm}\)），无可辩驳地证实了电子的波动性。同年 G. P. 汤姆孙独立地用电子穿过薄膜得到衍射环。波粒二象性 (wave-particle duality) 至此确立，量子力学的大门就此打开。

de Broglie wavelength (德布罗意波长), matter wave (物质波), wave-particle duality (波粒二象性), standing wave (驻波), Davisson–Germer experiment (戴维孙–革末实验)

🔭 推导 Derivation

推导 1.1：玻尔能级 \(E_{n}=-13.6\,\mathrm{eV}/n^{2}\)

设电子（质量 \(m_{e}\)、电荷 \(-e\)）绕质子（电荷 \(+e\)）做半径为 \(r\)、速度 \(v\) 的圆周运动。

步骤 1（牛顿第二定律 + 库仑力）： 法向方程给出

\[ \frac{m_{e}v^{2}}{r}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{e^{2}}{r^{2}}\quad\Longrightarrow\quad m_{e}v^{2}r=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}} \]

步骤 2（角动量量子化）： 玻尔假设 \(L=m_{e}vr=n\hbar\)，故 \(v=n\hbar/(m_{e}r)\)。代入步骤 1：

\[ m_{e}\!\left(\frac{n\hbar}{m_{e}r}\right)^{2}\!r=\frac{n^{2}\hbar^{2}}{m_{e}r}=\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}}\quad\Longrightarrow\quad r_{n}=\frac{4\pi\varepsilon_{0}\hbar^{2}}{m_{e}e^{2}}\,n^{2}=n^{2}a_{0} \]

步骤 3（动能）： 由步骤 1，\(K=\tfrac{1}{2}m_{e}v^{2}=\dfrac{1}{2}\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r}\)。代入 \(r_{n}\)：

\[ K_{n}=\frac{1}{2}\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}n^{2}a_{0}} \]

步骤 4（势能与总能）： 库仑势能 \(U_{n}=-\dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r_{n}}=-2K_{n}\)（维里定理自动满足）。总能：

\[ E_{n}=K_{n}+U_{n}=-K_{n}=-\frac{1}{2}\frac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}n^{2}a_{0}}=-\frac{m_{e}e^{4}}{2(4\pi\varepsilon_{0})^{2}\hbar^{2}}\cdot\frac{1}{n^{2}} \]

步骤 5（代入数值）： 用 \(m_{e}=9.109\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\)、\(e=1.602\times10^{-19}\,\mathrm{C}\)、\(\varepsilon_{0}=8.854\times10^{-12}\,\mathrm{F/m}\)、\(\hbar=1.055\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\)：

\[ E_{1}=-\frac{(9.109\times10^{-31})(1.602\times10^{-19})^{4}}{2(4\pi\cdot8.854\times10^{-12})^{2}(1.055\times10^{-34})^{2}}=-2.18\times10^{-18}\,\mathrm{J} \]

换算成电子伏：\(E_{1}=-2.18\times10^{-18}/(1.602\times10^{-19})=-13.6\,\mathrm{eV}\)。所以：

\[ \boxed{\;E_{n}=-\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^{2}},\qquad r_{n}=n^{2}a_{0},\qquad a_{0}=0.529\,\text{Å}\;} \]

推导 1.2：康普顿偏移 \(\Delta\lambda=(h/m_{e}c)(1-\cos\theta)\)

设入射光子能量 \(E=hc/\lambda\)、动量 \((h/\lambda)\hat{x}\)，电子初始静止（能量 \(m_{e}c^{2}\)、动量 0）。散射后光子能量 \(E'=hc/\lambda'\)、方向与入射方向成角 \(\theta\)，反冲电子能量 \(E_{e}\)、动量 \(\vec{p}_{e}\)。

能量守恒： \(E+m_{e}c^{2}=E'+E_{e}\)，即 \(E_{e}-m_{e}c^{2}=E-E'\)（电子获得动能 \(K=E-E'\)）。

动量守恒（\(x\) 分量）： \(\dfrac{h}{\lambda}=\dfrac{h}{\lambda'}\cos\theta+p_{e,x}\)。

动量守恒（\(y\) 分量）： \(0=\dfrac{h}{\lambda'}\sin\theta-p_{e,y}\)（取散射光在 \(+\hat{y}\) 一侧）。两式平方相加：\(p_{e}^{2}=\left(\dfrac{h}{\lambda}\right)^{2}+\left(\dfrac{h}{\lambda'}\right)^{2}-2\dfrac{h^{2}}{\lambda\lambda'}\cos\theta\)。

电子相对论能–动关系： \(E_{e}^{2}=(p_{e}c)^{2}+(m_{e}c^{2})^{2}\)，即 \((E+m_{e}c^{2}-E')^{2}-(p_{e}c)^{2}=(m_{e}c^{2})^{2}\)。展开并代入上述 \(p_{e}^{2}\)：

\[ 2m_{e}c^{2}(E-E')=EE'(1-\cos\theta)\cdot 2 \;/\; \text{整理}\;\Longrightarrow\; \frac{1}{E'}-\frac{1}{E}=\frac{1-\cos\theta}{m_{e}c^{2}} \]

用 \(E=hc/\lambda\)、\(E'=hc/\lambda'\)，得：

\[ \boxed{\;\lambda'-\lambda=\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos\theta)\;} \]

这个结果只含基本常数 \(h,m_{e},c\)，与靶物质无关——正是康普顿实验所观测到的。

推导 1.3：德布罗意驻波条件自动给出玻尔量子化

把轨道电子看作沿圆周"缠绕"的驻波，要求绕行一周后相位自洽（首尾相干）：周长必须容纳整数个完整波长，否则波因相消干涉而消失：

\[ 2\pi r=n\lambda,\qquad n=1,2,3,\dots \]

代入德布罗意关系 \(\lambda=h/p=h/(m_{e}v)\)：

\[ 2\pi r=n\frac{h}{m_{e}v}\quad\Longrightarrow\quad m_{e}vr=n\frac{h}{2\pi}=n\hbar \]

这正是玻尔作为假设引入的 \(L=n\hbar\)。角动量量子化首次有了物理图像——它对应稳定驻波的存在条件。这一思想后来在薛定谔方程中被严格实现（球谐函数 + 径向节点条件）。

✏️ 典型例题 Worked Examples

例 1.1 光电效应：钠的阈频、截止波长与光电子动能

钠 (Na) 的逸出功 \(\phi_{\text{Na}}=2.28\,\mathrm{eV}\)。用波长 \(\lambda=400\,\mathrm{nm}\)（紫光）照射钠表面。求：(a) 钠的阈频 \(\nu_{0}\) 与截止波长 \(\lambda_{0}\)；(b) 光电子的最大动能 \(K_{\max}\)（eV 与 J）；(c) 光电子的最大速率 \(v_{\max}\)。

已知： \(\phi=2.28\,\mathrm{eV}=2.28\times1.602\times10^{-19}=3.65\times10^{-19}\,\mathrm{J}\)；\(hc=1240\,\mathrm{eV\,nm}\)；\(m_{e}=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\)。

(a) 阈频与截止波长： 由 \(h\nu_{0}=\phi\)：

\[ \nu_{0}=\frac{\phi}{h}=\frac{3.65\times10^{-19}}{6.626\times10^{-34}}=5.51\times10^{14}\,\mathrm{Hz} \]

\[ \lambda_{0}=\frac{c}{\nu_{0}}=\frac{3.00\times10^{8}}{5.51\times10^{14}}=5.44\times10^{-7}\,\mathrm{m}=544\,\mathrm{nm}\quad(\text{绿黄光}) \]

校核：\(\lambda_{0}=hc/\phi=1240/2.28=544\,\mathrm{nm}\) ✓。波长长于 544 nm（红光、红外）的光无论多强都不能让钠发射光电子。

(b) 入射光子能量：

\[ E_{\text{光子}}=\frac{hc}{\lambda}=\frac{1240}{400}=3.10\,\mathrm{eV}=3.10\times1.602\times10^{-19}=4.97\times10^{-19}\,\mathrm{J} \]

由爱因斯坦方程：

\[ K_{\max}=h\nu-\phi=3.10-2.28=0.82\,\mathrm{eV}=0.82\times1.602\times10^{-19}=1.31\times10^{-19}\,\mathrm{J} \]

(c) 最大速率： 由 \(K_{\max}=\tfrac{1}{2}m_{e}v_{\max}^{2}\)：

\[ v_{\max}=\sqrt{\frac{2K_{\max}}{m_{e}}}=\sqrt{\frac{2(1.31\times10^{-19})}{9.11\times10^{-31}}}=\sqrt{2.88\times10^{11}}=5.37\times10^{5}\,\mathrm{m/s} \]

约为光速的 \(0.18\%\)，可用非相对论近似（无需修正）。

\(\nu_{0}=5.51\times10^{14}\,\mathrm{Hz};\;\lambda_{0}=544\,\mathrm{nm};\;K_{\max}=0.82\,\mathrm{eV}=1.31\times10^{-19}\,\mathrm{J};\;v_{\max}=5.37\times10^{5}\,\mathrm{m/s}\)

例 1.2 康普顿散射：波长偏移与散射光子能量

波长 \(\lambda=0.0200\,\mathrm{nm}=20.0\,\mathrm{pm}\) 的 X 射线光子被自由电子散射，散射角 \(\theta=90^{\circ}\)。求：(a) 散射光子的波长偏移 \(\Delta\lambda\) 与新波长 \(\lambda'\)；(b) 入射光子与散射光子的能量 \(E\)、\(E'\)；(c) 反冲电子获得的动能 \(K_{e}\)。

已知： 电子康普顿波长 \(\lambda_{\mathrm{C}}=h/(m_{e}c)=2.426\times10^{-12}\,\mathrm{m}=2.43\,\mathrm{pm}\)；\(\cos 90^{\circ}=0\)；\(hc=1240\,\mathrm{eV\,nm}\)。

(a) 康普顿偏移：

\[ \Delta\lambda=\lambda_{\mathrm{C}}(1-\cos\theta)=2.43\,\mathrm{pm}\times(1-0)=2.43\,\mathrm{pm}=0.00243\,\mathrm{nm} \]

\[ \lambda'=\lambda+\Delta\lambda=20.00+2.43=22.43\,\mathrm{pm}=0.02243\,\mathrm{nm} \]

(b) 光子能量： 由 \(E=hc/\lambda\)：

\[ E=\frac{1240}{0.0200}=62\,000\,\mathrm{eV}=62.0\,\mathrm{keV} \]

\[ E'=\frac{1240}{0.02243}=55\,300\,\mathrm{eV}=55.3\,\mathrm{keV} \]

(c) 反冲电子动能： 由能量守恒 \(K_{e}=E-E'\)：

\[ K_{e}=62.0-55.3=6.7\,\mathrm{keV}=1.07\times10^{-15}\,\mathrm{J} \]

说明：若改在 \(\theta=180^{\circ}\)（背散射）发生，偏移最大 \(\Delta\lambda_{\max}=2\lambda_{\mathrm{C}}=4.86\,\mathrm{pm}\)，散射光子能量降至 \(E'_{\min}=1240/0.0249=49.8\,\mathrm{keV}\)，电子带走 \(12.2\,\mathrm{keV}\) 动能。可见光的 \(\lambda\sim500\,\mathrm{nm}\) 上同样有此偏移，但 \(\Delta\lambda/\lambda\sim10^{-5}\)，实验上无法分辨——这就是为什么康普顿散射要用短波长的 X 射线。

\(\Delta\lambda=2.43\,\mathrm{pm};\;\lambda'=22.43\,\mathrm{pm};\;E=62.0\,\mathrm{keV};\;E'=55.3\,\mathrm{keV};\;K_{e}=6.7\,\mathrm{keV}\)

例 1.3 玻尔能级与氢的 Balmer-α 谱线

氢原子中电子从 \(n_{i}=3\) 跃迁到 \(n_{f}=2\)。(a) 用能级公式 \(E_{n}=-13.6\,\mathrm{eV}/n^{2}\) 计算发射光子能量；(b) 求光子波长并与里德伯公式交叉验证；(c) 这是哪一条谱线，位于什么颜色？

(a) 能级差：

\[ E_{3}=-\frac{13.6}{9}=-1.51\,\mathrm{eV},\qquad E_{2}=-\frac{13.6}{4}=-3.40\,\mathrm{eV} \]

\[ \Delta E=E_{3}-E_{2}=-1.51-(-3.40)=1.89\,\mathrm{eV} \]

(b) 波长： 由 \(\Delta E=hc/\lambda\)：

\[ \lambda=\frac{hc}{\Delta E}=\frac{1240\,\mathrm{eV\,nm}}{1.89\,\mathrm{eV}}=656\,\mathrm{nm} \]

用里德伯公式交叉验证：

\[ \frac{1}{\lambda}=R_{\infty}\!\left(\frac{1}{2^{2}}-\frac{1}{3^{2}}\right)=1.097\times10^{7}\!\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{9}\right)=1.097\times10^{7}\times\frac{5}{36}=1.524\times10^{6}\,\mathrm{m^{-1}} \]

\[ \lambda=\frac{1}{1.524\times10^{6}}=6.56\times10^{-7}\,\mathrm{m}=656\,\mathrm{nm}\quad\checkmark \]

(c) 物理意义： 这是 Balmer 系的第一条线（\(n_{f}=2,n_{i}=3\)），记作 \(\mathrm{H}\alpha\)，波长 \(656\,\mathrm{nm}\) 处于红色。它是太阳光谱、星云光谱中最显著的特征线之一（氢离子区 H II region 的红色即源于此）。整个 Balmer 系（\(n_{f}=2,n_{i}=3,4,5,\dots\)）位于可见光范围：\(\mathrm{H}\alpha=656\)、\(\mathrm{H}\beta=486\)、\(\mathrm{H}\gamma=434\)、\(\mathrm{H}\delta=410\,\mathrm{nm}\)……向 \(364.6\,\mathrm{nm}\) 收敛。

\(\Delta E=1.89\,\mathrm{eV};\;\lambda=656\,\mathrm{nm}\)（红色 \(\mathrm{H}\alpha\) 线）

例 1.4 电子的德布罗意波长（典型电子衍射实验）

在戴维孙–革末型实验中，电子被加速电压 \(V=100\,\mathrm{V}\) 加速（动能 \(K=eV=100\,\mathrm{eV}\)，明显非相对论）。求：(a) 电子的动量 \(p\)；(b) 电子的德布罗意波长 \(\lambda\)；(c) 与镍晶面间距 \(d\approx 0.215\,\mathrm{nm}\) 比较是否会发生可观测衍射。

已知： \(K=100\,\mathrm{eV}=100\times1.602\times10^{-19}=1.602\times10^{-17}\,\mathrm{J}\)，\(m_{e}=9.11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\)，\(h=6.626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\)。

(a) 动量： 由 \(K=p^{2}/(2m_{e})\)：

\[ p=\sqrt{2m_{e}K}=\sqrt{2(9.11\times10^{-31})(1.602\times10^{-17})}=\sqrt{2.92\times10^{-47}}=5.40\times10^{-24}\,\mathrm{kg\,m/s} \]

(b) 德布罗意波长：

\[ \lambda=\frac{h}{p}=\frac{6.626\times10^{-34}}{5.40\times10^{-24}}=1.23\times10^{-10}\,\mathrm{m}=0.123\,\mathrm{nm}=1.23\,\text{Å} \]

捷径公式： 对非相对论电子（加速电压 \(V\)，单位伏特），常用

\[ \lambda(\text{Å})\approx\frac{12.27}{\sqrt{V(\text{volt})}}\;\;\Longrightarrow\;\;\lambda=\frac{12.27}{\sqrt{100}}=1.23\,\text{Å}\quad\checkmark \]

(c) 与镍晶面比较： \(\lambda=0.123\,\mathrm{nm}\) 与 \(d\approx0.215\,\mathrm{nm}\) 同数量级，布拉格条件 \(2d\sin\theta=n\lambda\) 可满足：一级衍射峰出现在 \(\sin\theta=\lambda/(2d)=0.123/(2\times0.215)=0.286\)，即 \(\theta\approx16.6^{\circ}\)。这正是 Davisson–Germer 在 1927 年观测到的衍射峰位置，定量印证德布罗意假说。

\(p=5.40\times10^{-24}\,\mathrm{kg\,m/s};\;\lambda=0.123\,\mathrm{nm}=1.23\,\text{Å}\)；\(\lambda\sim d\)，衍射可观测

例 1.5 由波长求光子能量（跨越电磁波谱）

计算下列三种光子的能量（eV 与 J）并指出对应物理过程：(a) 绿色 LED \(\lambda=530\,\mathrm{nm}\)；(b) FM 无线电 \(\lambda=3.00\,\mathrm{m}\)；(c) 硬 X 射线 \(\lambda=0.0100\,\mathrm{nm}=10.0\,\mathrm{pm}\)。

已知： \(hc=1240\,\mathrm{eV\,nm}=1.986\times10^{-25}\,\mathrm{J\,m}\)，\(1\,\mathrm{eV}=1.602\times10^{-19}\,\mathrm{J}\)。统一公式：\(E=hc/\lambda\)。

(a) 绿色 LED，\(\lambda=530\,\mathrm{nm}=5.30\times10^{-7}\,\mathrm{m}\)：

\[ E=\frac{1240}{530}=2.34\,\mathrm{eV}=2.34\times1.602\times10^{-19}=3.75\times10^{-19}\,\mathrm{J} \]

频率 \(f=c/\lambda=3.00\times10^{8}/5.30\times10^{-7}=5.66\times10^{14}\,\mathrm{Hz}\)。这能量正好覆盖半导体 InGaN 的带隙 (~2.4 eV)，对应蓝绿 LED 的发光跃迁。

(b) FM 无线电，\(\lambda=3.00\,\mathrm{m}\)，\(f=100\,\mathrm{MHz}\)：

\[ E=\frac{1.986\times10^{-25}}{3.00}=6.62\times10^{-26}\,\mathrm{J}=4.13\times10^{-7}\,\mathrm{eV} \]

能量极小（比室温热能 \(kT\approx0.026\,\mathrm{eV}\) 小约 6 万倍），单个光子无法直接探测；FM 接收机靠\(10^{15}\) 量级的光子集体激发天线中的共振电流。这是经典波动描述仍然准确的领域。

(c) 硬 X 射线，\(\lambda=0.0100\,\mathrm{nm}=1.00\times10^{-11}\,\mathrm{m}\)：

\[ E=\frac{1240}{0.0100}=124\,000\,\mathrm{eV}=124\,\mathrm{keV}=1.99\times10^{-14}\,\mathrm{J} \]

这一能量远大于典型原子内层电子结合能（\(1\text{–}100\,\mathrm{keV}\)），能电离内壳层电子并产生强生物损伤，也适合做 X 射线衍射晶体学（如 Rosalind Franklin 的 DNA 衍射图 \(\lambda\approx0.15\,\mathrm{nm}\)）。

(a) \(2.34\,\mathrm{eV}=3.75\times10^{-19}\,\mathrm{J}\)；(b) \(4.13\times10^{-7}\,\mathrm{eV}=6.62\times10^{-26}\,\mathrm{J}\)；(c) \(124\,\mathrm{keV}=1.99\times10^{-14}\,\mathrm{J}\)

⚠️ 常见误区 Common Pitfalls

光电效应不能由经典波动理论解释。 一个常见错误是认为"强光等于高能量"。经典波的"能量"由振幅平方决定，把电子看作被波推动，则 \(K_{\max}\) 应随光强线性增大、与频率无关——这都与实验相悖。只有把光视为光子流、且每个光子能量 \(h\nu\)，才能解释阈频与 \(K_{\max}=h\nu-\phi\) 的线性关系。注意：光强只改变每秒光子数（饱和电流），不改变单个光子的能量。
玻尔模型是半经典、半量子的"权宜之计"。 角动量量子化 \(L=n\hbar\) 在玻尔那里是假设而非推导；电子仍走经典圆轨道，却不辐射（与电动力学矛盾）。玻尔模型无法处理氦原子、无法预言谱线强度与精细结构。它真正的价值在于：(i) 第一次给出正确能级；(ii) 在德布罗意驻波解释下，量子化条件有了物理图像；(iii) 为后续薛定谔方程铺路。不要把它当作"真相"，而应视作通往量子力学的过渡工具。
德布罗意波长 \(\lambda=h/p\) 在宏观尺度小到不可测。 一颗 \(1\,\mathrm{g}\)、\(v=400\,\mathrm{m/s}\) 的子弹：\(p=0.40\,\mathrm{kg\,m/s}\)，\(\lambda=6.626\times10^{-34}/0.40=1.7\times10^{-33}\,\mathrm{m}\)，比原子核 (\(\sim10^{-15}\,\mathrm{m}\)) 还小 18 个量级，永远看不到衍射。只有质量极小（电子、原子、分子）且速度不太高时，\(\lambda\) 才进入可测范围。同样，对同一粒子，速度越大 → 动量越大 → 波长越短；不要把"\(\lambda\)"与"波振幅"或"粒子大小"混为一谈。
康普顿散射需要 X 射线，不是可见光。 康普顿偏移 \(\Delta\lambda\) 只依赖散射角，对 500 nm 的可见光同样存在（最大 \(4.86\,\mathrm{pm}\)），但 \(\Delta\lambda/\lambda\sim10^{-5}\) 远低于光谱仪分辨率。选 X 射线是为了让 \(\Delta\lambda\) 相对 \(\lambda\) 足够大，并非因为可见光不发生散射。
把 \(E=h\nu\) 套用到有质量的粒子。 \(E=h\nu\) 与 \(p=h/\lambda\) 对光子成立（\(m_{0}=0\)、\(E=pc\)）；对实物粒子要用 \(E=\hbar\omega\)、\(p=\hbar k\)（其中 \(E\) 为总相对论能量，\(E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}\)）。若问电子的"频率"，单说 \(E/h\) 严格意义上指其物质波的频率，对应总能量；动能则需用 \(K=E-m_{0}c^{2}\)。学生常误把 \(h\nu\) 当作实物粒子的"动能"。
Wien 位移定律有"两种 \(b\)"。 \(B(\lambda,T)\) 形式的峰值满足 \(\lambda_{\max}T=b_{\lambda}=2.898\times10^{-3}\,\mathrm{m\,K}\)；若改写为 \(B(\nu,T)\)（按频率分布），峰值频率满足 \(\nu_{\max}/T=b'_{\nu}\)，对应不同的常数。不要把 \(\lambda_{\max}=c/\nu_{\max}\) 简单换算——两种分布的峰值不是同一光子。本章及仿真中只用 \(B(\lambda,T)\) 形式。

🧮 练习题 Practice Problems

1. 铯的光电效应：铯 (Cs) 有常用金属中最低的逸出功 \(\phi_{\text{Cs}}=2.14\,\mathrm{eV}\)。(a) 求截止波长 \(\lambda_{0}\)（nm）；(b) 用 \(\lambda=400\,\mathrm{nm}\) 紫光照射时，求 \(K_{\max}\)（eV）与 \(v_{\max}\)（m/s）；(c) 若把光强加倍，\(K_{\max}\) 与饱和电流分别如何变化？

用 \(\lambda_{0}=hc/\phi\)、\(K_{\max}=hc/\lambda-\phi\)、\(v_{\max}=\sqrt{2K_{\max}/m_{e}}\)。光强只影响光子数。

(a) \(\lambda_{0}=1240/2.14=579\,\mathrm{nm}\)（黄绿光）。
(b) \(E_{\text{光子}}=1240/400=3.10\,\mathrm{eV}\)；\(K_{\max}=3.10-2.14=0.96\,\mathrm{eV}=1.54\times10^{-19}\,\mathrm{J}\)；\(v_{\max}=\sqrt{2(1.54\times10^{-19})/(9.11\times10^{-31})}=\sqrt{3.38\times10^{11}}=5.81\times10^{5}\,\mathrm{m/s}\)。
(c) 加倍光强 → 光子数加倍 → 饱和电流 \(I\) 加倍；但单个光子能量 \(h\nu\) 不变，故 \(K_{\max}\) 不变。
\(\lambda_{0}=579\,\mathrm{nm};\;K_{\max}=0.96\,\mathrm{eV};\;v_{\max}=5.81\times10^{5}\,\mathrm{m/s}\)；光强加倍：\(K_{\max}\) 不变，\(I\) 加倍

2. 康普顿背散射：波长 \(\lambda=0.0300\,\mathrm{nm}=30.0\,\mathrm{pm}\) 的 \(\gamma\) 光子在 \(\theta=180^{\circ}\)（背散射）被电子偏折。求 \(\Delta\lambda\)、散射光子能量 \(E'\)、反冲电子动能 \(K_{e}\)。

背散射时 \(1-\cos 180^{\circ}=2\)，故 \(\Delta\lambda=2\lambda_{\mathrm{C}}\)。

\(\Delta\lambda=2\lambda_{\mathrm{C}}=2(2.426\,\mathrm{pm})=4.85\,\mathrm{pm}=0.00485\,\mathrm{nm}\)。
\(\lambda'=30.00+4.85=34.85\,\mathrm{pm}=0.03485\,\mathrm{nm}\)。
\(E=1240/0.0300=41.3\,\mathrm{keV}\)；\(E'=1240/0.03485=35.6\,\mathrm{keV}\)。
\(K_{e}=E-E'=41.3-35.6=5.7\,\mathrm{keV}\)。
\(\Delta\lambda=4.85\,\mathrm{pm};\;E'=35.6\,\mathrm{keV};\;K_{e}=5.7\,\mathrm{keV}\)

3. 氢的 Lyman-α 线：求氢原子从 \(n_{i}=2\) 跃迁到 \(n_{f}=1\)（Lyman 系第一条）发射光子的能量与波长。它位于电磁波谱的哪个区域？为什么大气中的臭氧层会强烈吸收它？

\(E_{1}=-13.6\,\mathrm{eV}\)，\(E_{2}=-3.40\,\mathrm{eV}\)。Lyman 系都在 \(n_{f}=1\)，紫外区。

\(\Delta E=E_{2}-E_{1}=-3.40-(-13.6)=10.2\,\mathrm{eV}\)。
\(\lambda=hc/\Delta E=1240/10.2=121.6\,\mathrm{nm}\)。
用里德伯公式交叉验证：\(1/\lambda=R_{\infty}(1/1-1/4)=1.097\times10^{7}\times 0.75=8.23\times10^{6}\,\mathrm{m^{-1}}\)，\(\lambda=121.5\,\mathrm{nm}\) ✓。
这是紫外（vacuum UV, < 200 nm），电离能 \(10.2\,\mathrm{eV}\) 远超 O–O 键能（~5 eV），会被臭氧层强烈吸收并引发光化学反应——这正是臭氧层保护地球生命免受短波紫外伤害的关键波段之一。
\(\Delta E=10.2\,\mathrm{eV};\;\lambda=121.6\,\mathrm{nm}\)（真空紫外 Lyman-α）

4. 棒球与电子的德布罗意波长对比：一颗 \(m=145\,\mathrm{g}\)、\(v=40.0\,\mathrm{m/s}\)（约 90 mph 快球）的棒球；一个 \(K=1.00\,\mathrm{MeV}\)（已接近相对论）的电子。分别计算 \(\lambda\)，并说明其相对论修正是否必要。

棒球显然非相对论：\(\lambda=h/(mv)\)。1 MeV 电子远超静能 \(m_{e}c^{2}=511\,\mathrm{keV}\)，需相对论：\(E_{\text{总}}=K+m_{e}c^{2}\)，\(pc=\sqrt{E_{\text{总}}^{2}-(m_{e}c^{2})^{2}}\)。

棒球： \(p=mv=0.145\times40.0=5.80\,\mathrm{kg\,m/s}\)；\(\lambda=h/p=6.626\times10^{-34}/5.80=1.14\times10^{-34}\,\mathrm{m}\)。比普朗克长度 (\(\sim10^{-35}\,\mathrm{m}\)) 大不了多少，永远不可观测。
1 MeV 电子： 总能量 \(E=K+m_{e}c^{2}=1.00+0.511=1.511\,\mathrm{MeV}\)。
\(pc=\sqrt{E^{2}-(m_{e}c^{2})^{2}}=\sqrt{1.511^{2}-0.511^{2}}\,\mathrm{MeV}=\sqrt{2.283-0.261}=\sqrt{2.022}=1.422\,\mathrm{MeV}\)。
\(\lambda=hc/(pc)=(1240\,\mathrm{eV\,nm})/(1.422\times10^{6}\,\mathrm{eV})=8.72\times10^{-4}\,\mathrm{nm}=8.72\times10^{-13}\,\mathrm{m}=0.872\,\mathrm{pm}\)。
非相对论校核： 若用 \(\lambda=h/\sqrt{2m_{e}K}\)，得 \(h/\sqrt{2(9.11\times10^{-31})(1.602\times10^{-13})}=h/\sqrt{2.92\times10^{-43}}=6.626\times10^{-34}/(5.40\times10^{-22})=1.23\times10^{-12}\,\mathrm{m}\)，比相对论结果大 40%——相对论修正必不可少。
棒球：\(\lambda=1.14\times10^{-34}\,\mathrm{m}\)（不可测）；1 MeV 电子：\(\lambda=0.872\,\mathrm{pm}\)（须用相对论）

5. 太阳表面温度估计：太阳光谱的峰值波长约为 \(\lambda_{\max}=502\,\mathrm{nm}\)（绿光）。用 Wien 位移定律估算太阳表面温度。再用 Stefan–Boltzmann 定律求其单位面积辐射功率，并与地表面太阳常数 \(S=1360\,\mathrm{W/m^{2}}\)（在 1 AU 处）通过几何衰减交叉验证。

\(T=b/\lambda_{\max}\)；\(j^{\ast}=\sigma T^{4}\)；地球处功率衰减因子为 \((R_{\odot}/1\,\mathrm{AU})^{2}\)，太阳半径 \(R_{\odot}=6.96\times10^{8}\,\mathrm{m}\)，1 AU \(=1.496\times10^{11}\,\mathrm{m}\)。

Wien 定律：\(T=b/\lambda_{\max}=2.898\times10^{-3}/(502\times10^{-9})=5773\,\mathrm{K}\)（标准值 \(5778\,\mathrm{K}\)）。
Stefan–Boltzmann：\(j^{\ast}=\sigma T^{4}=(5.670\times10^{-8})(5778)^{4}=6.32\times10^{7}\,\mathrm{W/m^{2}}\)。
太阳总光度 \(L=4\pi R_{\odot}^{2}\cdot j^{\ast}=4\pi(6.96\times10^{8})^{2}(6.32\times10^{7})=3.84\times10^{26}\,\mathrm{W}\)。
扩散到 1 AU 球面：\(S=L/[4\pi(1\,\mathrm{AU})^{2}]=3.84\times10^{26}/[4\pi(1.496\times10^{11})^{2}]=1362\,\mathrm{W/m^{2}}\) ✓ 与实测 \(1360\,\mathrm{W/m^{2}}\) 吻合。
\(T\approx5778\,\mathrm{K};\;j^{\ast}=6.32\times10^{7}\,\mathrm{W/m^{2}};\;S=1362\,\mathrm{W/m^{2}}\)（与实测吻合）

🎛️ 互动仿真 Interactive Simulation

黑体辐射谱 (blackbody spectrum)：拖动温度滑块 T，观察普朗克分布 \(B(\lambda,T)=\dfrac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\dfrac{1}{e^{hc/(\lambda kT)}-1}\) 的形态。曲线的峰值（红点）按 Wien 位移定律 \(\lambda_{\max}=b/T\) 随 T 增大而向短波移动；曲线下面积（总辐射出射度 \(j^{\ast}=\sigma T^{4}\)）随 T 急剧增大。勾选"显示 Rayleigh–Jeans"以叠加经典理论的虚线谱——它在短波端发散（紫外灾难）。仿真坐标自动随 T 缩放：x 轴范围 \([0,\,4\lambda_{\max}]\)；y 轴按当前峰值定标。背景彩色条带标示 400–700 nm 可见光范围。

📝 本章小结 Summary & Key Formulas

19 世纪末的经典物理无法解释黑体辐射、光电效应与原子线状光谱——三者共同指向能量的量子化。
普朗克公式 \(B(\lambda,T)=\dfrac{2hc^{2}}{\lambda^{5}}\!\left(e^{hc/(\lambda kT)}-1\right)^{-1}\) 由振子能量 \(E_{n}=nh\nu\) 假设导出，消除紫外灾难；长波极限回归 Rayleigh–Jeans \(B_{\text{RJ}}=2ckT/\lambda^{4}\)。
Wien 位移定律 \(\lambda_{\max}T=b=2.898\times10^{-3}\,\mathrm{m\,K}\)；Stefan–Boltzmann 定律 \(j^{\ast}=\sigma T^{4}\)，\(\sigma=5.670\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}\)。
爱因斯坦光电方程 \(K_{\max}=h\nu-\phi\)；阈频 \(\nu_{0}=\phi/h\)，截止波长 \(\lambda_{0}=hc/\phi\)。光子能量 \(E=h\nu=hc/\lambda\)，常用 \(hc=1240\,\mathrm{eV\,nm}\)。
康普顿散射 \(\Delta\lambda=\dfrac{h}{m_{e}c}(1-\cos\theta)=\lambda_{\mathrm{C}}(1-\cos\theta)\)，\(\lambda_{\mathrm{C}}=2.426\,\mathrm{pm}\)。证明光子携带动量 \(p=h/\lambda\)。
玻尔模型：角动量 \(L=n\hbar\)；半径 \(r_{n}=n^{2}a_{0}\)，\(a_{0}=0.529\,\text{Å}\)；能级 \(E_{n}=-13.6\,\mathrm{eV}/n^{2}\)；里德伯公式 \(1/\lambda=R_{\infty}(1/n_{f}^{2}-1/n_{i}^{2})\)，\(R_{\infty}=1.097\times10^{7}\,\mathrm{m^{-1}}\)。
德布罗意波 \(\lambda=h/p\)：把电子轨道看作驻波 \(2\pi r=n\lambda\) 自动给出玻尔量子化。Davisson–Germer 电子衍射（\(\lambda\approx0.165\,\mathrm{nm}\)）证实波粒二象性。
每个结果都独立指出"经典连续"图景的失效：黑体→能量量子化；光电→光的粒子性；原子光谱→角动量量子化；电子衍射→粒子的波动性。这是量子力学（下一章薛定谔方程）的物理动机。

\[ \boxed{\;E=h\nu=\frac{hc}{\lambda},\;\;p=\frac{h}{\lambda},\;\;K_{\max}=h\nu-\phi,\;\;\Delta\lambda=\frac{h}{m_{e}c}(1-\cos\theta),\;\;E_{n}=-\frac{13.6\,\mathrm{eV}}{n^{2}},\;\;\lambda=\frac{h}{p}\;} \]