🎯 学习目标 Learning Objectives
学完本章后，你将能够：
- 用「传播的扰动 (a propagating disturbance)」定义机械波 (mechanical wave)，论证波输运能量而不输运物质，并区分横波 (transverse) 与纵波 (longitudinal)。
- 从一段弦元 (string segment) 在张力下的牛顿第二定律出发，严格推导经典一维波动方程 \(\partial^{2}y/\partial t^{2}=v^{2}\,\partial^{2}y/\partial x^{2}\)，并得出弦上波速 \(v=\sqrt{F_{T}/\mu}\)。
- 用链式法则验证行波解 (traveling-wave solution) \(y=f(x\mp vt)\) 满足波动方程，并解释符号 \(\mp\) 决定传播方向。
- 写出正弦波 \(y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi)\)，灵活换算 \(k=2\pi/\lambda\)、\(\omega=2\pi f=2\pi/T\)、色散关系 \(v=\omega/k=\lambda f\)。
- 区分波速 (wave speed) \(v\) 与质元速度 (particle speed) \(v_{y}=\partial y/\partial t\)，理解前者由介质决定、后者随位置时间变化。
- 导出弦上波的平均输运功率 \(P_{\text{avg}}=\tfrac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}v\)，并解释 \(P\propto A^{2}\)、\(P\propto\omega^{2}\)。
- 计算同波列上两点的相位差 (phase difference) \(\Delta\Phi=k\,\Delta x\)，并用它判断两点「同相 / 反相」。
📖 核心概念 Core Concepts
1. 什么是波？ What Is a Wave?
机械波 (mechanical wave) 是某种「扰动」(distortion) 在弹性介质 (medium) 中的传播。重要的是：传播的是扰动的形状（信息、能量），而不是介质本身。把一根长绳的一端抖动一下，绳上各点只在原地往返振动，而「凸起」却沿绳传向远处——这正是「波携带能量、不携带物质」的最直接证据。机械波必须依赖介质（绳、水、空气、固体），与之相对的电磁波 (electromagnetic wave) 可在真空中传播，留待第二学期讨论。
一个孤立波包 (pulse) 是局部扰动；若扰动随时间周期性重复，就形成连续波列 (wave train)，其中最重要的特例是正弦波 (sinusoidal wave)。任何复杂波都可由正弦波叠加（傅里叶分解，见第 5 章），故本章把正弦波作为基本模型。
mechanical wave (机械波), medium (介质), disturbance (扰动), pulse (波包), wave train (波列), energy transport (能量输运)
2. 横波与纵波 Transverse vs Longitudinal Waves
按照质元振动方向与波传播方向的关系，机械波分为两类：
- 横波 (transverse wave)：质元振动方向 ⊥ 传播方向。典型例子：绷紧的弦上的波、电磁波、(近似地) 绳波。横波的「形状」可以直接看成一条曲线 \(y(x,t)\)。
- 纵波 (longitudinal wave)：质元振动方向 ∥ 传播方向，介质交替出现「稠密」(compression) 与「稀疏」(rarefaction)。典型例子：空气中的声波、弹簧中的疏密波、地震纵波 (P-wave)。
有的波兼有横、纵两个分量——例如水面波 (surface water wave) 的水质元做椭圆运动；地震面波 (surface wave, Rayleigh wave) 也是。本章数学描述以横波（弦上的位移 \(y\)）为范式，但波动方程本身与「横/纵」无关：纵波的局部压缩量 \(s(x,t)\)（流体中）或格点位移同样满足 \(\partial^{2}s/\partial t^{2}=v^{2}\partial^{2}s/\partial x^{2}\)。
transverse wave (横波), longitudinal wave (纵波), compression (稠密区), rarefaction (稀疏区), surface wave (表面波)
3. 行波与波动方程 Traveling Waves & the Wave Equation
考虑弦上向 \(+x\) 方向传播、形状保持不变的波。若 \(t=0\) 时形状为 \(y=f(x)\)，则在时刻 \(t\)，整个形状向右平移了 \(vt\)，所以：
\[ y(x,t)=f(x-vt)\qquad(\text{沿 }+x\text{ 传播}) \]
同理，\(y=f(x+vt)\) 描述沿 \(-x\) 传播的波。这两种「行波」都是下节推导的波动方程的解。注意函数 \(f\) 的具体形状不影响波速——线性波动方程有一个关键性质：任何形状的扰动都以同一速度 \(v\) 传播，称为非色散 (nondispersive)；色散介质中不同频率分量速度不同，波包会「散开」，留待第 5 章讨论。
traveling wave (行波), nondispersive (非色散), dispersive medium (色散介质)
4. 正弦波与波参数 Sinusoidal Waves & Wave Parameters
取 \(f\) 为正弦函数，得到最常用模型：
\[ y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi) \]
各量的物理含义与单位：
- 振幅 (amplitude) \(A\)：质元离开平衡位置的最大距离，单位 \(\mathrm{m}\)。能量正比于 \(A^{2}\)。
- 角频率 (angular frequency) \(\omega\)：单位 \(\mathrm{rad/s}\)，与频率 \(f\)（赫兹 \(\mathrm{Hz}=\mathrm{s^{-1}}\)）、周期 \(T\) 的关系：
\(\;\omega=2\pi f=2\pi/T\)。
- 波数 (wave number) \(k\)：单位 \(\mathrm{rad/m}\)，与波长 \(\lambda\)（单位 \(\mathrm{m}\)，相邻同相位点间距）的关系：
\(\;k=2\pi/\lambda\)。
- 相位常数 / 初相 (phase constant) \(\varphi\)：决定 \(t=0\)、\(x=0\) 处的初始位移，单位 \(\mathrm{rad}\)。
把「时间一圈 = \(T\)」与「空间一圈 = \(\lambda\)」对应起来：波在每一周期 \(T\) 内向前推进一个 \(\lambda\)，因此
\[ \boxed{\;v=\frac{\lambda}{T}=\lambda f=\frac{\omega}{k}\;} \]
最后这个等式 \(\omega = vk\) 称为色散关系 (dispersion relation)。对弦上波，\(v\) 由介质决定（见下节），与 \(f\) 无关，故 \(\omega=vk\) 是线性色散关系——非色散介质的标志。
amplitude \(A\) (振幅), angular frequency \(\omega\) (角频率), wave number \(k\) (波数), wavelength \(\lambda\) (波长), period \(T\) (周期), frequency \(f\) (频率), phase constant \(\varphi\) (相位常数), dispersion relation (色散关系)
5. 相位与相位差 Phase & Phase Difference
把正弦函数的自变量整体称为相位 (phase)：
\[ \Phi(x,t)=kx-\omega t+\varphi \]
同一时刻 \(t\)，相距 \(\Delta x=x_{2}-x_{1}\) 的两点相位差为
\[ \Delta\Phi=\Phi_{2}-\Phi_{1}=k\,\Delta x=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x \]
几个重要判据：
- \(\Delta x=m\lambda\)（\(m\) 为整数）→ \(\Delta\Phi=2m\pi\)，两点同相 (in phase)，振动步调完全一致；
- \(\Delta x=(m+\tfrac{1}{2})\lambda\) → \(\Delta\Phi=(2m+1)\pi\)，两点反相 (out of phase / antiphase)，振动相反；
- 其他情形为部分相位差，常用 \(\mathrm{mod}\;2\pi\) 化简到 \([0,2\pi)\)。
phase (相位), phase difference (相位差), in phase (同相), antiphase (反相)
6. 波速 vs 质元速度 Wave Speed vs Particle Speed
这是初学最易混淆之处，务必厘清：
- 波速 (wave / phase speed) \(v\)：波形整体推进的速度，由介质决定，恒定。在弦上 \(v=\sqrt{F_{T}/\mu}\)。
- 质元速度 (particle / transverse speed) \(v_{y}\)：弦上某一点（固定 \(x\)）做上下振动的速度，
\[ v_{y}=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos(kx-\omega t+\varphi),\qquad |v_{y}|_{\max}=A\omega. \]
它随位置、时间变化，最大值 \(A\omega\) 可以远小于波速 \(v\)。
举例：钢琴弦上 \(A=2\,\mathrm{mm}\)、\(f=440\,\mathrm{Hz}\)、\(v=140\,\mathrm{m/s}\)，则 \(|v_{y}|_{\max}=A\omega=2\times10^{-3}\times2\pi\times440\approx5.5\,\mathrm{m/s}\)，比 \(v\) 小近 30 倍。波形飞快前进，质元本身却只是慢慢上下摆动。
wave speed (波速), particle speed (质元速度), transverse velocity (横向速度)
7. 波输运的能量与功率 Energy & Power Carried by a Wave
弦上每个长 \(dx\) 的小段都在振动，因而具有动能；同时由于被拉伸，又有弹性势能。对行波而言，二者时间平均相等（推导见下）：
\[ \Big\langle\frac{dK}{dx}\Big\rangle=\Big\langle\frac{dU}{dx}\Big\rangle=\frac{1}{4}\mu A^{2}\omega^{2} \]
所以单位长度弦上的平均总能量为
\[ \Big\langle\frac{dE}{dx}\Big\rangle=\frac{1}{2}\mu A^{2}\omega^{2} \]
这些能量以波速 \(v\) 沿传播方向流动，因此波平均输运功率 (average power transmitted)：
\[ \boxed{\;P_{\text{avg}}=\Big\langle\frac{dE}{dx}\Big\rangle v=\frac{1}{2}\mu\omega^{2}A^{2}v\;} \]
单位 \(\mathrm{W}\)。两个重要标度律：振幅加倍 → 功率 ×4；频率加倍 → 功率 ×4。能量并非停留在驱动端，而是源源不断随波传向远端——这就是波「输运能量」的定量表述。
kinetic energy density (动能密度), potential energy density (势能密度), average power (平均功率), energy transport (能量输运)
🔭 推导 Derivation
D1. 由弦元导出经典波动方程 Deriving the Classical Wave Equation
考虑一根线密度 (linear mass density) 为 \(\mu\)（单位 \(\mathrm{kg/m}\)）、被恒定张力 \(F_{T}\)（单位 \(\mathrm{N}\)）拉紧的均匀弦。设弦的平衡位置沿 \(x\) 轴，横向位移为 \(y(x,t)\)。我们做小幅度近似 (small-amplitude approximation)：处处 \(|\partial y/\partial x|\ll 1\)，于是 (i) 任一小段弦的长度近似等于其水平跨度；(ii) 张力大小处处仍为 \(F_{T}\)（修正项为二阶小量，可略）。
第 1 步：取受力分析对象。取平衡位置介于 \(x\) 与 \(x+dx\) 之间的一小段弦。两端各受张力 \(F_{T}\)，方向沿弦的切线，与水平夹角记为 \(\theta(x)\) 与 \(\theta(x+dx)\)。
第 2 步：写横向合力。水平张力分量互相抵消（保留 \(F_{T}\) 恒定的条件）；横向分量合成为
\[ F_{y}=F_{T}\sin\theta(x+dx)-F_{T}\sin\theta(x). \]
小角度下 \(\sin\theta\simeq\tan\theta=\partial y/\partial x\)，故
\[ F_{y}\simeq F_{T}\!\left[\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x+dx}-\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|_{x}\right]\simeq F_{T}\,\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}\,dx. \]
第 3 步：套牛顿第二定律。该段质量为 \(\mu\,dx\)，横向加速度为 \(\partial^{2}y/\partial t^{2}\)。于是
\[ (\mu\,dx)\,\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=F_{T}\,\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}\,dx. \]
第 4 步：整理并读出波速。两边除以 \(\mu\,dx\)：
\[ \boxed{\;\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=\underbrace{\frac{F_{T}}{\mu}}_{\displaystyle v^{2}}\,\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}\;}\qquad\Longrightarrow\qquad v=\sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}} \]
这正是经典一维波动方程 (classical wave equation) \(\partial^{2}y/\partial t^{2}=v^{2}\partial^{2}y/\partial x^{2}\)。注意：\(F_{T}\) 与 \(\mu\) 都是介质属性，故 \(v\) 由介质决定，与波的具体形状、振幅、频率都无关——这正是非色散的几何根源。
D2. 验证行波解 Confirming \(y=f(x\mp vt)\) Solves the Wave Equation
令 \(\xi=x-vt\)（即 \(y=f(\xi)\)），由链式法则：
\[ \frac{\partial y}{\partial t}=f'(\xi)\,\frac{\partial\xi}{\partial t}=-v\,f'(\xi),\qquad
\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=v^{2}\,f''(\xi), \]
\[ \frac{\partial y}{\partial x}=f'(\xi)\,\frac{\partial\xi}{\partial x}=f'(\xi),\qquad
\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}}=f''(\xi). \]
代入即得 \(\partial^{2}y/\partial t^{2}=v^{2}\,\partial^{2}y/\partial x^{2}\)，对任意二次可微的 \(f\) 都成立。同理 \(y=f(x+vt)\) 也满足（请读者自行验证）。所以波动方程的通解是
\[ y(x,t)=f(x-vt)+g(x+vt), \]
即「向右的任意形状」加上「向左的任意形状」叠加——这是 1747 年 d'Alembert 给出的著名结果。符号约定：含 \(kx-\omega t\) 的项 → 沿 \(+x\) 传播；含 \(kx+\omega t\) 的项 → 沿 \(-x\) 传播。读「负号 → 正方向」最容易记。
D3. 弦上波的平均功率（能量均分）Average Power & Equipartition
动能密度：取 \(y=A\sin(kx-\omega t)\)，则 \(\partial y/\partial t=-A\omega\cos(kx-\omega t)\)，单位长度动能为
\[ \frac{dK}{dx}=\frac{1}{2}\mu\!\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)^{2}=\frac{1}{2}\mu A^{2}\omega^{2}\cos^{2}(kx-\omega t). \]
对一个周期取平均，\(\langle\cos^{2}\rangle=1/2\)，得 \(\langle dK/dx\rangle=\tfrac14\mu A^{2}\omega^{2}\)。
势能密度：被拉伸的小段长度为 \(ds=\sqrt{dx^{2}+dy^{2}}\simeq dx\bigl[1+\tfrac12(\partial y/\partial x)^{2}\bigr]\)，附加伸长量 \(\delta=\tfrac12(\partial y/\partial x)^{2}dx\)。张力做功 \(dU=F_{T}\,\delta=\tfrac12 F_{T}(\partial y/\partial x)^{2}dx\)，故
\[ \frac{dU}{dx}=\frac{1}{2}F_{T}\!\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^{2}=\frac{1}{2}F_{T}A^{2}k^{2}\cos^{2}(kx-\omega t). \]
利用 \(F_{T}=\mu v^{2}\) 与 \(k=\omega/v\) 得 \(F_{T}k^{2}=\mu\omega^{2}\)，于是 \(\langle dU/dx\rangle=\tfrac14\mu A^{2}\omega^{2}\)，与动能密度完全相等——这就是行波的能量均分 (equipartition)。两者相加得 \(\langle dE/dx\rangle=\tfrac12\mu A^{2}\omega^{2}\)，乘以能量流速 \(v\) 即得 \(P_{\text{avg}}=\tfrac12\mu\omega^{2}A^{2}v\)。
✏️ 典型例题 Worked Examples
例 1.1 由波函数读参数 Reading Parameters from \(y(x,t)\)
一横波在弦上传播，其位移函数为 \(y=0.050\sin(2.0\,x-400\,t)\)（SI 单位）。求：(a) 振幅、波长、频率、周期；(b) 波速与传播方向；(c) 弦上一点的最大横向速度。
解：对照标准式 \(y=A\sin(kx-\omega t)\)（这里 \(\varphi=0\)），读出
\(A=0.050\,\mathrm{m}=5.0\,\mathrm{cm}\)，\(k=2.0\,\mathrm{rad/m}\)，\(\omega=400\,\mathrm{rad/s}\)。
(a) 波长 \(\lambda=2\pi/k=2\pi/2.0=\pi\approx 3.14\,\mathrm{m}\)。频率 \(f=\omega/2\pi=400/2\pi\approx 63.7\,\mathrm{Hz}\)。周期 \(T=1/f=2\pi/400\approx 1.57\times10^{-2}\,\mathrm{s}=15.7\,\mathrm{ms}\)。
(b) \(v=\omega/k=400/2.0=200\,\mathrm{m/s}\)。时间项系数为 \(-\omega t\)（负号），故波沿 \(+x\) 方向传播。
(c) 最大横向速度 \(|v_{y}|_{\max}=A\omega=0.050\times 400=20\,\mathrm{m/s}\)。注意它远小于波速 \(v=200\,\mathrm{m/s}\)。
答案：\(A=5.0\,\mathrm{cm}\)，\(\lambda\approx 3.14\,\mathrm{m}\)，\(f\approx 63.7\,\mathrm{Hz}\)，\(T\approx 15.7\,\mathrm{ms}\)；\(v=200\,\mathrm{m/s}\) 沿 \(+x\)；\(|v_{y}|_{\max}=20\,\mathrm{m/s}\)。
例 1.2 弦上波速与张力（小提琴 A 弦） Wave Speed & Tension
小提琴的 A 弦振动长度 \(L=330\,\mathrm{mm}\)，线密度 \(\mu=4.0\times10^{-4}\,\mathrm{kg/m}\)，两端固定，发音基频 \(f_{1}=440\,\mathrm{Hz}\)（基频对应 \(\lambda_{1}=2L\)）。求：(a) 弦上的波速 \(v\)；(b) 弦中张力 \(F_{T}\)；(c) 若把弦绷得更紧使 \(F_{T}\) 增加 10%，基频如何变化？
解：(a) 基频满足 \(f_{1}=v/\lambda_{1}=v/(2L)\)，所以
\[ v=2Lf_{1}=2(0.330)(440)=290.4\,\mathrm{m/s}\approx 2.9\times10^{2}\,\mathrm{m/s}. \]
(b) 由 \(v=\sqrt{F_{T}/\mu}\) 反解：
\[ F_{T}=\mu v^{2}=(4.0\times10^{-4})(290.4)^{2}=(4.0\times10^{-4})(8.43\times10^{4})\approx 33.7\,\mathrm{N}. \]
(c) \(v\propto\sqrt{F_{T}}\)，故 \(v\) 变为 \(\sqrt{1.10}\) 倍；又 \(f_{1}=v/(2L)\)，\(L\) 不变，故 \(f_{1}\) 也乘以 \(\sqrt{1.10}\approx 1.049\)，即升高约 \(4.9\%\) 到约 \(461\,\mathrm{Hz}\)。这就是弦乐调弦 (tuning) 的物理依据。
答案：\(v\approx 2.9\times10^{2}\,\mathrm{m/s}\)；\(F_{T}\approx 34\,\mathrm{N}\)；基频变为 \(\sqrt{1.10}\) 倍，约 \(461\,\mathrm{Hz}\)（升 4.9%）。
例 1.3 由快照与一点速度反演波函数 Reconstructing \(y(x,t)\)
一列沿 \(+x\) 方向传播的正弦横波，振幅 \(A=8.0\,\mathrm{mm}\)，波长 \(\lambda=0.40\,\mathrm{m}\)，波速 \(v=20\,\mathrm{m/s}\)。在 \(t=0\) 时刻，\(x=0\) 处的质元位移 \(y(0,0)=+4.0\,\mathrm{mm}\)，且正向下运动（\(v_{y}<0\)）。(a) 求 \(k\)、\(\omega\)；(b) 求相位常数 \(\varphi\) 并写出 \(y(x,t)\)；(c) 求该点的最大横向速度 \(|v_{y}|_{\max}\)。
解：(a) \(k=2\pi/\lambda=2\pi/0.40=5\pi\,\mathrm{rad/m}\approx15.7\,\mathrm{rad/m}\)。\(\omega=vk=20\times5\pi=100\pi\,\mathrm{rad/s}\approx314\,\mathrm{rad/s}\)。
(b) 设 \(y=A\sin(kx-\omega t+\varphi)\)。代入 \(t=0,x=0\)：
\[ A\sin\varphi=y(0,0)=4.0\,\mathrm{mm}\;\Longrightarrow\;\sin\varphi=\frac{4.0}{8.0}=0.5. \]
所以 \(\varphi=\pi/6\) 或 \(5\pi/6\)。再用横向速度定号：
\[ v_{y}=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\omega\cos(kx-\omega t+\varphi),\quad v_{y}(0,0)=-A\omega\cos\varphi<0\;\Longrightarrow\;\cos\varphi>0. \]
因此 \(\varphi\) 在第一象限，\(\boxed{\varphi=\pi/6}\)。波函数为
\[ y(x,t)=8.0\times10^{-3}\sin\!\bigl(5\pi x-100\pi t+\tfrac{\pi}{6}\bigr)\;[\mathrm{m}]. \]
(c) \(|v_{y}|_{\max}=A\omega=(8.0\times10^{-3})(100\pi)\approx 2.51\,\mathrm{m/s}\)。在 \(t=0,x=0\) 时刻实际值为 \(|v_{y}|=A\omega\cos(\pi/6)=2.51\times(\sqrt3/2)\approx2.18\,\mathrm{m/s}\)，方向向下。与波速 \(v=20\,\mathrm{m/s}\) 对比：质元速度仅为波速的约 11%。
答案：\(k=5\pi\,\mathrm{rad/m}\)、\(\omega=100\pi\,\mathrm{rad/s}\)；\(\varphi=\pi/6\)，\(y=8.0\times10^{-3}\sin(5\pi x-100\pi t+\pi/6)\,\mathrm{m}\)；\(|v_{y}|_{\max}\approx2.51\,\mathrm{m/s}\)。
例 1.4 波输运的功率 Power Transmitted
一弦的线密度 \(\mu=0.050\,\mathrm{kg/m}\)，其上行波 \(y=0.080\sin(3.0\,x-60\,t)\)（SI）。求：(a) 波速；(b) 平均输运功率；(c) 若振幅减半而其他参数不变，功率变为几倍？
解：读出 \(A=0.080\,\mathrm{m}\)，\(k=3.0\,\mathrm{rad/m}\)，\(\omega=60\,\mathrm{rad/s}\)。
(a) \(v=\omega/k=60/3.0=20\,\mathrm{m/s}\)。
(b) \[ P_{\text{avg}}=\tfrac12\mu\omega^{2}A^{2}v=\tfrac12(0.050)(60)^{2}(0.080)^{2}(20). \]
逐步计算：\(\omega^{2}=3600\)，\(A^{2}=6.4\times10^{-3}\)，故
\[ P_{\text{avg}}=\tfrac12(0.050)(3600)(6.4\times10^{-3})(20)=\tfrac12(0.050)(460.8)=11.5\,\mathrm{W}. \]
(c) 因 \(P\propto A^{2}\)，振幅减半 → 功率乘以 \((1/2)^{2}=1/4\)，即 \(P\) 降为 \(2.88\,\mathrm{W}\)。这说明高保真音响「功率翻倍只相当于振幅 ×\(\sqrt{2}\)」，并不是直观的「功率 ×2 = 振幅 ×2」。
答案：\(v=20\,\mathrm{m/s}\)；\(P_{\text{avg}}\approx 11.5\,\mathrm{W}\)；振幅减半 → 功率降为 \(1/4\)（约 \(2.9\,\mathrm{W}\)）。
例 1.5 两点的相位差 Phase Difference
弦上行波 \(y=0.10\sin(4.0\,x-10\,t)\)（SI）。求：(a) 波长与周期；(b) \(x_{1}=1.0\,\mathrm{m}\) 与 \(x_{2}=2.5\,\mathrm{m}\) 两点的相位差，化为 \([0,2\pi)\)；(c) 两点是否同相、反相或介于之间？
解：读出 \(k=4.0\,\mathrm{rad/m}\)，\(\omega=10\,\mathrm{rad/s}\)。
(a) \(\lambda=2\pi/k=2\pi/4=\pi/2\approx1.57\,\mathrm{m}\)；\(T=2\pi/\omega=2\pi/10\approx0.628\,\mathrm{s}\)。
(b) \(\Delta x=1.5\,\mathrm{m}\)，相位差
\[ \Delta\Phi=k\,\Delta x=4.0\times1.5=6.0\,\mathrm{rad}. \]
化简：\(6.0-2\pi\approx 6.0-6.283=-0.283\,\mathrm{rad}\)，即等效相位差约 \(2\pi-0.283\approx6.00\,\mathrm{rad}\)；若想要 \([0,2\pi)\) 内的值，则 \(\Delta\Phi\bmod 2\pi=6.0\,\mathrm{rad}\)（本身已小于 \(2\pi\approx6.283\)）。换算成角度：\(6.0\times180/\pi\approx344^{\circ}\)。
(c) 由于 \(\Delta x/\lambda=1.5/(\pi/2)\approx0.955\)，两点相隔接近一个完整波长但不到，相位差接近但略小于 \(2\pi\)，因此几乎同相（仅差约 \(16^{\circ}\)），振动步调非常接近。
答案：\(\lambda\approx1.57\,\mathrm{m}\)，\(T\approx0.628\,\mathrm{s}\)；\(\Delta\Phi=6.0\,\mathrm{rad}\approx344^{\circ}\)；两点几乎同相。
⚠️ 常见误区 Common Pitfalls
- 把波速当成质元速度。波速 \(v\) 是「形状」前进的速度，由介质决定且恒定；质元速度 \(v_{y}=\partial y/\partial t\) 是某固定点上下运动的速度，随时间位置变化，最大值 \(A\omega\)。通常 \(A\omega\ll v\)（钢琴弦差几十倍），但两者方向也不同（横波中 \(v\) 沿 \(x\)、\(v_{y}\) 沿 \(y\)）。
- 搞错传播方向。记住口诀「负号 → 正方向」：相位写作 \(kx-\omega t\) 时波沿 \(+x\) 传播；写作 \(kx+\omega t\) 时沿 \(-x\)。这是因为「保持相位不变」要求 \(\Delta x=\pm v\,\Delta t\)，正负号决定 \(\Delta x\) 方向。
- 误以为「\(v=\lambda f\)」可调频提速。\(v\) 由介质（弦上的 \(F_{T},\mu\)；声波的体积模量与密度）决定，是独立变量；\(f\) 由波源决定。改变波源频率只会让 \(\lambda=v/f\) 反比变化，\(v\) 不变。这是非色散介质的核心特征。
- 把「张力」与「周期」记混。两者都常用 \(T\) 表示，本章为避免混淆，张力一律记 \(F_{T}\)，周期保留 \(T\)。
- 能量正比于 \(A\)、\(\omega\)，而不是 \(A^{2}\)、\(\omega^{2}\)。功率 \(P_{\text{avg}}=\tfrac12\mu\omega^{2}A^{2}v\) 对振幅和频率都按平方标度。振幅加倍功率变 4 倍，不是 2 倍；频率加倍功率变 4 倍。
- 把 \(v=\sqrt{F_{T}/\mu}\) 用于非线性情形。该公式要求小幅度近似（\(\partial y/\partial x\ll1\)）和均匀弦。大幅振动或变截面弦不适用，需非线性理论。
🧮 练习题 Practice Problems
1. 横波 \(y=0.020\sin(\pi x-100\pi t)\)（SI）。求 \(A\)、\(\lambda\)、\(f\)、\(T\)、\(v\) 与传播方向。
对照 \(A\sin(kx-\omega t)\)，读出 \(k,\omega\) 后用四个换算公式。注意 \(\pi x\) 的系数即 \(k\)。
读出 \(A=0.020\,\mathrm{m}=2.0\,\mathrm{cm}\)，\(k=\pi\,\mathrm{rad/m}\)，\(\omega=100\pi\,\mathrm{rad/s}\)。
\(\lambda=2\pi/k=2\pi/\pi=2.0\,\mathrm{m}\)；\(f=\omega/2\pi=100\pi/2\pi=50\,\mathrm{Hz}\)；
\(T=1/f=0.020\,\mathrm{s}\)；\(v=\omega/k=100\pi/\pi=100\,\mathrm{m/s}\)；时间项 \(-\omega t\) 为负 → 沿 \(+x\)。
\(A=2.0\,\mathrm{cm},\,\lambda=2.0\,\mathrm{m},\,f=50\,\mathrm{Hz},\,T=20\,\mathrm{ms},\,v=100\,\mathrm{m/s},\,+x\)。
2. 直径 \(2.0\,\mathrm{mm}\) 的钢丝（密度 \(7.8\,\mathrm{g/cm^{3}}\)），张力 \(500\,\mathrm{N}\)。求线密度 \(\mu\) 与波速 \(v\)。
线密度 = 体密度 × 横截面积；然后套 \(v=\sqrt{F_{T}/\mu}\)。
半径 \(r=1.0\times10^{-3}\,\mathrm{m}\)，截面积 \(\mathcal{A}=\pi r^{2}=\pi\times10^{-6}\,\mathrm{m^{2}}\)。
\(\mu=\rho\mathcal{A}=(7.8\times10^{3})(\pi\times10^{-6})\approx2.45\times10^{-2}\,\mathrm{kg/m}\)。
\(v=\sqrt{F_{T}/\mu}=\sqrt{500/0.0245}=\sqrt{2.04\times10^{4}}\approx1.43\times10^{2}\,\mathrm{m/s}\)。
\(\mu\approx2.4\times10^{-2}\,\mathrm{kg/m}\)，\(v\approx143\,\mathrm{m/s}\)。
3. 弦上正弦波 \(A=5.0\,\mathrm{mm}\)、\(f=100\,\mathrm{Hz}\)、\(v=80\,\mathrm{m/s}\)、\(\mu=0.020\,\mathrm{kg/m}\)。求平均输运功率。
\(\omega=2\pi f\)，然后 \(P_{\text{avg}}=\tfrac12\mu\omega^{2}A^{2}v\)。
\(\omega=2\pi(100)=200\pi\approx628\,\mathrm{rad/s}\)。
\[ P=\tfrac12(0.020)(200\pi)^{2}(5.0\times10^{-3})^{2}(80)=\tfrac12(0.020)(3.95\times10^{5})(2.5\times10^{-5})(80)\approx7.9\,\mathrm{W}. \]
\(P_{\text{avg}}\approx 7.9\,\mathrm{W}\)。
4. 波长 \(\lambda=0.80\,\mathrm{m}\) 的波，沿其上相距 \(0.50\,\mathrm{m}\) 的两点相位差为多少？化为 \([0,2\pi)\) 并判断同相/反相。
\(\Delta\Phi=(2\pi/\lambda)\Delta x\)；再与 \(0,\pi,2\pi\) 比较。
\(\Delta\Phi=2\pi(0.50)/0.80=1.25\pi=5\pi/4\,\mathrm{rad}\)。在 \([0,2\pi)\) 内即 \(5\pi/4\)（\(225^{\circ}\)）。既非同相（\(0\)）也非反相（\(\pi\)），介于之间，更接近反相。
\(\Delta\Phi=5\pi/4\,\mathrm{rad}=225^{\circ}\)。
5.（挑战）证明高斯波包 \(y=A\,e^{-(x-vt)^{2}/L^{2}}\) 满足经典波动方程（\(L\) 为常数），并说明它沿什么方向传播。
把 \(y\) 视为 \(\xi=x-vt\) 的函数，应用 D2 的链式法则；不需要具体算二阶导的值，只需验证结构。
令 \(\xi=x-vt\)，则 \(y=A\,e^{-\xi^{2}/L^{2}}\equiv f(\xi)\)，属于 D2 讨论的 \(f(x-vt)\) 形式。链式法则给出
\(\partial^{2}y/\partial t^{2}=v^{2}f''(\xi)\)、\(\partial^{2}y/\partial x^{2}=f''(\xi)\)，
代入得 \(\partial^{2}y/\partial t^{2}=v^{2}\partial^{2}y/\partial x^{2}\)，对任意 \(f\)（高斯也含在内）恒成立。
由于 \(\xi=x-vt\) 保持不变要求 \(\Delta x=v\,\Delta t\)，波包沿 \(+x\) 方向以速率 \(v\) 传播。满足波方程；沿 \(+x\) 传播，速率 \(v\)。
🎛️ 互动仿真 Interactive Simulation
行波 Traveling Wave。弦上的正弦横波 \(y=A\sin(kx\mp\omega t)\)。调节振幅 \(A\)、波长 \(\lambda\)、频率 \(f\)，切换传播方向；动画实时显示波形向左 / 右推进，并在波峰之间标注波长 \(\lambda\)。在 \(x=6\,\mathrm{cm}\) 处用红点标记一个固定质元，竖直箭头表示其横向速度 \(v_{y}\)——对比波形的整体推进（波速 \(v=\lambda f\)）与质元的上下摆动（\(|v_{y}|_{\max}=A\omega\)），直观感受「波速 ≠ 质元速度」。底部读出 \(v\)、\(|v_{y}|_{\max}\) 及二者比值。
📝 本章小结 Summary & Key Formulas
- 机械波是扰动的传播，输运能量而非物质。横波振动 ⊥ 传播方向（如弦），纵波振动 ∥ 传播方向（如声波）。
- 从弦元在张力下的牛顿第二定律得经典一维波动方程 \(\partial^{2}y/\partial t^{2}=v^{2}\partial^{2}y/\partial x^{2}\)，波速 \(v=\sqrt{F_{T}/\mu}\) 仅由介质决定。
- 行波通解 \(y=f(x-vt)+g(x+vt)\)：负号 → \(+x\) 传播，正号 → \(-x\) 传播；对任意形状都成立（d'Alembert）。
- 正弦波 \(y=A\sin(kx-\omega t+\varphi)\) 中：\(k=2\pi/\lambda\)、\(\omega=2\pi f=2\pi/T\)、色散关系 \(v=\omega/k=\lambda f\)、相位 \(\Phi=kx-\omega t+\varphi\)。
- 两点相位差 \(\Delta\Phi=k\,\Delta x=2\pi\,\Delta x/\lambda\)；\(\Delta x=m\lambda\) 同相，\(\Delta x=(m+\tfrac12)\lambda\) 反相。
- 波速 \(v\)（介质决定、恒定）≠ 质元速度 \(v_{y}=\partial y/\partial t\)（随位置时间变化，\(|v_{y}|_{\max}=A\omega\)）。
- 行波能量均分 \(\langle dK/dx\rangle=\langle dU/dx\rangle=\tfrac14\mu A^{2}\omega^{2}\)；平均输运功率 \(P_{\text{avg}}=\tfrac12\mu\omega^{2}A^{2}v\)，对 \(A\)、\(\omega\) 均按平方标度。
\[ \boxed{\;\frac{\partial^{2}y}{\partial t^{2}}=v^{2}\frac{\partial^{2}y}{\partial x^{2}},\quad v=\sqrt{\frac{F_{T}}{\mu}},\quad y=A\sin(kx-\omega t+\varphi),\quad v=\frac{\omega}{k}=\lambda f,\quad P_{\text{avg}}=\tfrac12\mu\omega^{2}A^{2}v\;} \]