📖 核心概念 Core Concepts
1. SI 基本单位与量纲分析 (SI Base Units & Dimensional Analysis)
国际单位制 (Système International, SI) 以七个基本单位为根基：长度米 \((\mathrm{m})\)、质量千克 \((\mathrm{kg})\)、时间秒 \((\mathrm{s})\)、电流安培 \((\mathrm{A})\)、热力学温度开尔文 \((\mathrm{K})\)、物质的量摩尔 \((\mathrm{mol})\)、发光强度坎德拉 \((\mathrm{cd})\)。所有其它单位均可由它们导出，例如牛顿 \(\mathrm{N}=\mathrm{kg\,m/s^2}\)、焦耳 \(\mathrm{J}=\mathrm{kg\,m^2/s^2}\)。
量纲分析 (dimensional analysis) 用三个最基本的力学量纲 —— 质量 \(M\)、长度 \(L\)、时间 \(T\) —— 检查等式两侧是否一致。若一等式物理上正确，则左右两侧的量纲必须相同。把任何量 \(Q\) 的量纲记作 \([Q]\)。
\[[F]=[ma]=M\cdot LT^{-2}=MLT^{-2}\]
量纲分析的两个用途：(i) 在做详细计算之前快速判断公式是否合理；(ii) 在不进行完整求解的情况下确定一个量与其它量之间的幂次关系（参见 §3 的白金汉 π 定理思想）。
SI base units (国际单位制基本单位), derived units (导出单位), dimensional analysis (量纲分析), dimensional homogeneity (量纲齐次性)
2. 数量级与费米估算 (Order-of-Magnitude & Fermi Estimation)
物理学经常只关心“大致是 \(10\) 的几次方”。费米估算 (Fermi estimation) 把一个复杂问题分解为若干可估的因子，每个因子只取一位有效数字的 \(10\) 的幂，再相乘。原则：宁可每一项差到 \(2\) 倍也不要陷入细节；总误差通常落在 \(10\) 倍以内。圆周率可取 \(\pi\approx 3\)，球体积 \(\tfrac{4}{3}\pi r^3\approx 4 r^3\)。
order of magnitude (数量级), Fermi estimate (费米估算), significant figures (有效数字)
3. 标量与矢量 (Scalars vs. Vectors)
标量 (scalar) 仅有大小与单位（质量、时间、温度、能量）；矢量 (vector) 同时具有大小、方向与单位（位移、速度、力）。两矢量 相等 当且仅当大小与方向都相同 —— 与在空间中画在哪里无关（矢量是“自由”的）。矢量加法满足交换律 \(\vec{A}+\vec{B}=\vec{B}+\vec{A}\) 与结合律。
几何上加法有两种等价做法：头尾相接法 (tip-to-tail) —— 把 \(\vec{B}\) 的尾接到 \(\vec{A}\) 的头，合力从 \(\vec{A}\) 的尾指向 \(\vec{B}\) 的头；平行四边形法 (parallelogram rule) —— 两矢量共起点，对角线即为合矢量。
scalar (标量), vector (矢量/向量), magnitude (大小/模), resultant (合矢量), tip-to-tail method (头尾相接法)
4. 单位矢量与分量 (Unit Vectors & Components)
对任一矢量 \(\vec{A}\)，其单位矢量 \(\hat{A}\) 定义为方向与 \(\vec{A}\) 相同、大小为 \(1\) 的矢量：
\[\hat{A}=\frac{\vec{A}}{\lvert\vec{A}\rvert},\qquad \lvert\vec{A}\rvert=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2}.\]
在三维直角坐标系中，三个互相正交的单位矢量 \(\hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k}\) 分别指向 \(x,y,z\) 轴正方向。任一矢量可写为分量形式：
\[\vec{A}=A_x\,\hat{\imath}+A_y\,\hat{\jmath}+A_z\,\hat{k}.\]
若已知 \(\vec{A}\) 在 \(xy\) 平面内的大小 \(\lvert\vec{A}\rvert\) 与其跟 \(+x\) 轴的夹角 \(\theta\)（按数学惯例逆时针为正），则
\[A_x=\lvert\vec{A}\rvert\cos\theta,\qquad A_y=\lvert\vec{A}\rvert\sin\theta,\qquad \theta=\operatorname{atan2}(A_y,A_x).\]
分量加法即对应分量相加：\(\vec{A}+\vec{B}=(A_x+B_x)\hat{\imath}+(A_y+B_y)\hat{\jmath}+(A_z+B_z)\hat{k}\)。
unit vector (单位矢量), component (分量), magnitude (模), resolution into components (分解为分量)
5. 点积 (Dot / Scalar Product)
点积把两个矢量映射为一个标量，其几何与代数定义等价：
\[\vec{A}\cdot\vec{B}=\lvert\vec{A}\rvert\,\lvert\vec{B}\rvert\cos\theta=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.\]
其中 \(\theta\in[0,\pi]\) 是两矢量间的夹角。点积的物理意义在于 投影 (projection)：\(\vec{A}\cdot\hat{B}=\lvert\vec{A}\rvert\cos\theta\) 是 \(\vec{A}\) 在 \(\vec{B}\) 方向上的投影。力学中功 (work) 的定义正是力在位移方向上的投影乘以位移：
\[W=\vec{F}\cdot\vec{d}.\]
关键判据：\(\vec{A}\cdot\vec{B}=0\iff\vec{A}\perp\vec{B}\)（或其一为零矢量）。
dot product (点积/标量积), projection (投影), work (功), perpendicular (垂直/正交)
6. 叉积 (Cross / Vector Product)
叉积只在三维有意义，结果是一个 矢量，方向由右手定则 (right-hand rule) 给出，垂直于 \(\vec{A}\) 与 \(\vec{B}\) 所张的平面：
\[\lvert\vec{A}\times\vec{B}\rvert=\lvert\vec{A}\rvert\,\lvert\vec{B}\rvert\sin\theta,\qquad 0\le\theta\le\pi.\]
分量形式（用行列式更易记忆）：
\[\vec{A}\times\vec{B}=\begin{vmatrix}\hat{\imath}&\hat{\jmath}&\hat{k}\\A_x&A_y&A_z\\B_x&B_y&B_z\end{vmatrix}=(A_yB_z-A_zB_y)\,\hat{\imath}+(A_zB_x-A_xB_z)\,\hat{\jmath}+(A_xB_y-A_yB_x)\,\hat{k}.\]
基本关系：\(\hat{\imath}\times\hat{\jmath}=\hat{k}\)，\(\hat{\jmath}\times\hat{k}=\hat{\imath}\)，\(\hat{k}\times\hat{\imath}=\hat{\jmath}\)，任一矢量与自身叉积为零 (\(\hat{\imath}\times\hat{\imath}=\vec{0}\))。叉积反交换：\(\vec{A}\times\vec{B}=-\vec{B}\times\vec{A}\)。物理意义：力矩 \(\vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}\)、角动量 \(\vec{L}=\vec{r}\times\vec{p}\)、洛伦兹力 \(\vec{F}=q\vec{v}\times\vec{B}\)。判据：\(\vec{A}\times\vec{B}=\vec{0}\iff\vec{A}\parallel\vec{B}\)。
cross product (叉积/矢量积), right-hand rule (右手定则), torque (力矩), angular momentum (角动量), parallel (平行)
7. 微积分回顾 (Calculus Review)
力学几乎全部建立在下面四件工具之上。设 \(u,v\) 为 \(x\) 的函数，\(n,a\) 为常数。
基本求导 (derivatives)：
\[\dv{}{x}(x^n)=nx^{n-1},\quad \dv{}{x}(\sin x)=\cos x,\quad \dv{}{x}(\cos x)=-\sin x,\quad \dv{}{x}(e^x)=e^x,\quad \dv{}{x}(\ln x)=\frac{1}{x}.\]
四则与复合 (product, quotient, chain rules)：
\[\dv{}{x}(uv)=u\,\dv{v}{x}+v\,\dv{u}{x},\qquad \dv{}{x}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{v\,\dv{u}{x}-u\,\dv{v}{x}}{v^2},\qquad \dv{f}{x}=\dv{f}{u}\,\dv{u}{x}.\]
不定积分 (integrals) 的常用结果：
\[\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1),\qquad \int\frac{dx}{x}=\ln\lvert x\rvert,\qquad \int\cos x\,dx=\sin x,\qquad \int\sin x\,dx=-\cos x.\]
泰勒展开 (Taylor series) 在 \(x=a\) 附近把函数展开成多项式：
\[f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+\tfrac{1}{2!}f''(a)(x-a)^2+\tfrac{1}{3!}f'''(a)(x-a)^3+\cdots\]
常用的若干展开（在 \(a=0\) 处，称为麦克劳林级数）：
\[e^x=1+x+\tfrac{x^2}{2!}+\tfrac{x^3}{3!}+\cdots,\qquad \sin x=x-\tfrac{x^3}{3!}+\cdots,\qquad \cos x=1-\tfrac{x^2}{2!}+\cdots\]
注意：三角函数的级数中 \(x\) 必须以弧度 (radians) 为单位，否则导数公式 \((\sin x)'=\cos x\) 不成立。
偏导数 (partial derivatives) 处理多变量函数：\(\pdv{f}{x}\) 是把其它自变量视为常数时对 \(x\) 的导数。例如 \(f(x,y)=x^2 y\) 时 \(\pdv{f}{x}=2xy\)，\(\pdv{f}{y}=x^2\)。
derivative (导数), chain rule (链式法则), integral (积分), Taylor series (泰勒级数), partial derivative (偏导数), radian (弧度)
8. 坐标系 (Coordinate Systems)
直角坐标 (Cartesian) \((x,y,z)\) 适合具有平移对称性的问题。极坐标 (plane polar) \((r,\theta)\) 适合具有旋转对称性的二维问题，两者换算关系：
\[x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^2+y^2},\quad \theta=\operatorname{atan2}(y,x).\]
柱坐标 \((r,\theta,z)\) 与球坐标 \((r,\theta,\phi)\) 将在后续章节需要时引入。
Cartesian coordinates (直角坐标), plane polar coordinates (极坐标), radian (弧度)