1922 年，斯特恩 (Otto Stern) 与格拉赫 (Walther Gerlach) 让一束银原子穿过一个极不均匀 的磁场，打在玻璃板上。经典物理预言应是一连续的弥散带 （因为原子磁矩在空间取向随机）；他们却看到两道分立的斑 ——这是"空间量子化 (space quantization)"第一次被直接看见，也成了电子自旋 (spin) 存在的铁证。本附录讲清它的装置、物理、历史与"串接 SG"所揭示的量子测量图像。The 1922 Stern–Gerlach experiment split a beam of silver atoms in an inhomogeneous magnetic field into discrete spots — direct evidence that angular momentum projection is quantized.
🎯 学习目标 Learning Objectives
说明 SG 装置：原子炉 → 准直缝 → 刃形磁极的不均匀磁场 → 探测板，并解释为何磁场必须不均匀 。
推导磁偶极在梯度场中的力 \(F_z=\mu_z\,\partial B/\partial z\) 与偏折量。
由 \(J_z=m_j\hbar\) 解释为什么分成 \(2j+1\) 束；对银（自旋 1/2）得到两束。
讲清 1922 实验的做法与历史 ：刃形磁极、约 \(10^{2}\,\unit{T/m}\) 梯度、\(\sim0.1\,\unit{mm}\) 分裂、与自旋发现(1925)的关系。
用串接 SG 说明不相容可观察量 （\([S_z,S_x]=i\hbar S_y\)）与测量塌缩。
📖 核心物理 Core Physics
1. 磁偶极在不均匀场中受力
磁偶极矩 \(\vec\mu\) 在磁场 \(\vec B\) 中的势能为 \(U=-\vec\mu\cdot\vec B\)，故受力 \(\vec F=\nabla(\vec\mu\cdot\vec B)\)。若磁场主要沿 \(z\) 且只在 \(z\) 方向有梯度，则
\[ F_z=\mu_z\,\frac{\partial B}{\partial z} \]
关键：必须是"不均匀"场。 均匀磁场 (\(\partial B/\partial z=0\)) 对磁偶极只有力矩 \(\vec\tau=\vec\mu\times\vec B\)（使它进动），不产生净力、不分束 。斯特恩与格拉赫因此把上磁极磨成刃形 (knife-edge) ，造成极强的 \(z\) 向梯度。
2. 角动量投影是量子化的
原子磁矩源于其角动量 \(\vec J\)：\(\vec\mu=-g\,\dfrac{e}{2m_e}\vec J\)（\(g\) 为朗德 g 因子）。量子力学限定角动量的 \(z\) 分量只能取分立值
\[ J_z=m_j\hbar,\qquad m_j=-j,\,-j{+}1,\,\dots,\,j \quad\Rightarrow\quad \text{共 }2j{+}1\text{ 个取值} \]
于是 \(\mu_z\) 也只有 \(2j+1\) 个分立值，原子束被偏折成 \(2j+1\) 束——而非经典的连续带。对银原子：满壳层抵消，唯剩一个 5s 价电子 ，总角动量即其自旋 \(j=s=1/2\)，\(m_s=\pm\tfrac12\)，故分成两束 。
\[ \mu_z=-g_s\,\mu_B\,m_s,\qquad g_s\approx 2,\quad \mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e}=9.274\times10^{-24}\,\unit{J/T} \]
为什么选银？ 银原子在蒸气中是电中性、无净电荷（不会被洛伦兹力偏折干扰），且恰好是有效的"纯自旋 1/2"体系：内层电子角动量两两抵消，唯一的价电子处于 \(s\) 轨道（轨道角动量 \(l=0\)），所以原子磁矩几乎完全来自该电子的自旋 。1922 年他们尚不知"自旋"，把结果归因于轨道角动量的空间量子化（旧量子论）；直到 1925 年乌伦贝克–古德斯密特提出电子自旋，两束的真正来源才被认清。
magnetic moment (磁矩 \(\mu\)), inhomogeneous field (不均匀磁场), knife-edge pole (刃形磁极), space quantization (空间量子化), spin (自旋), Bohr magneton (玻尔磁子 \(\mu_B\)), g-factor (g 因子), incompatible observables (不相容可观察量)
🕰️ 历史与做法 History & Method
1922 年他们具体怎么做的
原子源： 在真空中把银加热蒸发（约 \(1000\,\unit{^\circ C}\) 的银炉），产生银原子束；热运动速度约 \(v\sim500\,\unit{m/s}\)。准直： 用两道狭缝把束流准直到很小发散角，得到一束细而平行的原子流。刃形磁极： 电磁铁上极磨成刀刃状 、下极平，在数厘米的气隙里造出 \(z\) 向梯度约 \(\partial B/\partial z\sim10^{2}\,\unit{T/m}\) 的强不均匀场（这是最难、最关键的一步）。探测： 原子打在一块玻璃板上凝结成银膜。银膜极薄、肉眼几不可见——历史轶事是他们对板做显影（如遇硫/呼吸水汽凝结）才看到痕迹。结果： 沿磁场梯度方向上出现两道分立的银斑 ，而非一条连续带；分裂量约 \(0.1\,\unit{mm}\) 量级。
偏折有多大（量级估算）： \(F_z\sim\mu_B\,(\partial B/\partial z)\sim(9.3\times10^{-24})(10^{2})\approx9\times10^{-22}\,\unit{N}\)；银原子质量 \(M\approx1.8\times10^{-25}\,\unit{kg}\)，加速度 \(a=F/M\sim5\times10^{3}\,\unit{m/s^{2}}\)；在 \(L\sim3.5\,\unit{cm}\) 磁区内飞行 \(t=L/v\sim7\times10^{-5}\,\unit{s}\)，偏折 \(\tfrac12 at^{2}\sim10^{-5}\,\unit{m}\)，再经磁场后的自由漂移被放大到 \(\sim0.1\,\unit{mm}\)。这就是为什么需要强梯度+长路径+高真空+精密对中 。
串接 Stern–Gerlach（量子测量的教科书）
把几台 SG 串起来，就把量子测量讲透了（参见 Sakurai）：
\(\mathrm{SG}_z\) 把束分成 \(|+z\rangle\) 与 \(|{-z}\rangle\)。挡住 \(|{-z}\rangle\)，得到一束纯 \(|+z\rangle\) 。
把它送入 \(\mathrm{SG}_x\)：\(S_z\) 本征态不是 \(S_x\) 本征态（\(|+z\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|+x\rangle+|{-x}\rangle)\)），于是又分成两束 \(|{\pm}x\rangle\)，各 50% 。
取 \(|+x\rangle\) 再送入 \(\mathrm{SG}_z\)：这次 \(|+z\rangle\) 与 \(|{-z}\rangle\) 又各 50% ——测 \(S_x\) 已破坏 了原来" \(S_z\) 确定"的信息。
这正是不相容可观察量 的体现：\([S_z,S_x]=i\hbar S_y\ne0\)，\(S_z\) 与 \(S_x\) 不能同时有确定值；测量其一必使另一变得不确定。
现代变体 Modern Variants
氢原子 SG： 直接显示电子（及核）自旋 1/2。中子 SG： 用磁梯度偏折中子束，测中子磁矩/自旋。原子干涉型 SG / Stern–Gerlach 干涉仪： 分束后再合并，演示自旋相干与"which-path"。单原子/囚禁原子： 在现代冷原子实验里对单个原子做等效的 SG 测量与相干操控。
🔭 推导 Derivation
力与偏折。 原子以速度 \(v\) 沿 \(x\) 飞行，在长度 \(L\) 的磁区内受恒力 \(F_z=\mu_z G\)（\(G=\partial B/\partial z\)）。磁区内用时 \(t=L/v\)，出射时获得横向速度 \(v_z=at=F_z t/M\) 与横向位移 \(z_1=\tfrac12 at^{2}\)。出磁区后自由漂移距离 \(D\)，再加位移 \(z_2=v_z(D/v)\)。总偏折
\[ z_{\text{tot}}=\frac{\mu_z G}{M}\!\left(\frac{L}{v}\right)\!\left(\frac{D}{v}\right)+\frac12\frac{\mu_z G}{M}\!\left(\frac{L}{v}\right)^{2}\;\propto\;\mu_z \]
故两束（\(\mu_z=\pm\mu_B\)）在板上分开 \(2z_{\text{tot}}\)。\(j\) 越大，束越多： 因 \(\mu_z\) 取 \(2j+1\) 个值，束数 \(=2j+1\)。
串接概率。 由 \(|+z\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|+x\rangle+|{-x}\rangle)\)，得 \(|\langle +x|+z\rangle|^{2}=1/2\)，故 \(\mathrm{SG}_x\) 后两束各半。再把 \(|+x\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|+z\rangle+|{-z}\rangle)\) 送回 \(\mathrm{SG}_z\)，\(P(+z)=|\langle +z|+x\rangle|^{2}=1/2\)。测量 \(S_x\) 后 \(S_z\) 的确定信息被抹除。
✏️ 典型例题 Worked Examples
例 1 银原子束的偏折量级
取 \(\partial B/\partial z=100\,\unit{T/m}\)，\(v=500\,\unit{m/s}\)，磁区长 \(L=3.5\,\unit{cm}\)，磁区内偏折是多少？
解： \(F_z\approx\mu_B G=(9.274\times10^{-24})(100)=9.27\times10^{-22}\,\unit{N}\)。
\(M_{\text{Ag}}=108\,\unit{u}=108\times1.66\times10^{-27}=1.79\times10^{-25}\,\unit{kg}\)；\(a=F/M=9.27\times10^{-22}/1.79\times10^{-25}=5.18\times10^{3}\,\unit{m/s^{2}}\)。
\(t=L/v=0.035/500=7.0\times10^{-5}\,\unit{s}\)；\(z_1=\tfrac12 at^{2}=\tfrac12(5.18\times10^{3})(7.0\times10^{-5})^{2}=1.27\times10^{-5}\,\unit{m}\)。
磁区内偏折约 \(1.3\times10^{-2}\,\unit{mm}\)；经后续自由漂移放大到 \(\sim0.1\,\unit{mm}\)（与实验一致）。
例 2 不同自旋分几束
分别对 \(s=1/2\)（银/电子）、\(s=1\)、\(s=3/2\) 的原子束，SG 分成几束？
解： 束数 \(=2s+1\)。
\(s=1/2\Rightarrow2\) 束；\(s=1\Rightarrow3\) 束；\(s=3/2\Rightarrow4\) 束。
2、3、4 束（见下方仿真把自旋滑块拨到 1 或 3/2 即可看到）。
例 3 串接 SG 的概率
由 \(\mathrm{SG}_z\) 选出 \(|+z\rangle\) 束，依次过 \(\mathrm{SG}_x\)、再过 \(\mathrm{SG}_z\)。求最后得到 \(|+z\rangle\) 的概率。
解： \(|+z\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|+x\rangle+|{-x}\rangle)\)，故过 \(\mathrm{SG}_x\) 得 \(|+x\rangle\) 概率 \(P_1=|\langle +x|+z\rangle|^{2}=1/2\)。
取 \(|+x\rangle\) 再过 \(\mathrm{SG}_z\)：\(|+x\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|+z\rangle+|{-z}\rangle)\)，得 \(|+z\rangle\) 概率 \(P_2=|\langle +z|+x\rangle|^{2}=1/2\)。
条件总概率 \(P=P_1\cdot P_2=(1/2)(1/2)=1/4\)。
\(P(+z\to+x\to+z)=1/4\)。测了 \(S_x\) 后，\(S_z\) 的"上"不再是确定，而是重新 50/50。
⚠️ 常见误区 Common Pitfalls
误区： "任意磁场都能让原子束分叉。"不均匀 。均匀场只给力矩（进动），不给净力，不分束 ——这正是要刃形磁极的原因。误区： "磁场把原子磁矩'对齐'了，所以分两束。"测量/筛选 ，把它投影到 \(S_z\) 本征态上。误区： "银的两束来自轨道角动量。"自旋 （1922 年时尚未知自旋，故曾误读）。误区： "测了 \(S_z\) 后还能同时知道 \(S_x\)。"误区： "SG 测的是自旋方向（向上/向下）。"所选磁场轴 上的投影分量 （\(\pm\hbar/2\)），并非一个经典的小箭头方向。
🧮 练习题 Practice Problems
1. 若把梯度加倍（\(G\to2G\)），两束在板上的间距如何变？
\(z_{\text{tot}}\propto G\)。
间距正比于 \(G\)，故加倍。间距变为 2 倍。
2. 一个 \(s=2\) 的原子束过 SG，分几束？相邻两束对应的 \(\mu_z\) 差是多少（用 \(g\mu_B\) 表示）？
束数 \(2s+1=5\)。\(m_s=-2,-1,0,1,2\)，相邻 \(m\) 差 1，故 \(\Delta\mu_z=g\mu_B\)。5 束；相邻差 \(g\mu_B\)。
3. 由 \(|{-z}\rangle\) 出发依次过 \(\mathrm{SG}_x\)、\(\mathrm{SG}_z\)，求最后得 \(|+z\rangle\) 的概率。
\(|{-z}\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|+x\rangle-|{-x}\rangle)\)，得 \(|+x\rangle\) 概率 \(1/2\)；再 \(|+x\rangle\to\mathrm{SG}_z\) 得 \(|+z\rangle\) 概率 \(1/2\)。\(1/4\)。
4. （概念）为什么斯特恩–格拉赫最初用银而不是钠蒸气直接做？（提示：电荷、价电子结构）
银原子整体电中性（避免洛伦兹力干扰），且恰好是有效纯自旋 1/2（满壳层+一个 5s 价电子，\(l=0\)）；钠虽有类似价电子，但银更易蒸镀成可见银膜便于探测。电中性 + 有效纯自旋 1/2 + 易探测。
🎛️ 互动仿真 Interactive Simulation
银原子束从炉中射出、准直后穿过刃形磁极 的不均匀磁场（向上场强增大），按 \(\mu_z\) 偏折、打在探测板上。自旋 s 决定束数 \(2s{+}1\)；梯度 G 决定偏折大小。勾选/取消 quantum 开关：开=量子分立（\(2s{+}1\) 道斑），关=经典连续弥散带——对比即见"空间量子化"。
📝 本附录小结 Summary
SG 让原子束过不均匀磁场 ，按 \(\mu_z\) 偏折，分成 \(2j+1\) 束——直接证明角动量投影量子化。
力 \(F_z=\mu_z\,\partial B/\partial z\)；偏折 \(\propto\mu_z\)；银（自旋 1/2）分成两束。
1922 实验用刃形磁极、\(\sim10^{2}\,\unit{T/m}\) 梯度、玻璃板凝银，看到分立两斑（\(\sim0.1\,\unit{mm}\)）；后由电子自旋(1925)给出真正解释。
串接 SG 揭示不相容可观察量 \([S_z,S_x]\ne0\) 与测量塌缩。
\[ \boxed{\;F_z=\mu_z\frac{\partial B}{\partial z},\quad J_z=m_j\hbar,\quad \#\text{束}=2j+1,\quad [S_z,S_x]=i\hbar S_y\;} \]
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