附录 B · Appendix B · 数学回顾 Math Review

数学回顾 Math Review

本附录为本课程所需的数学工具速查表。术语首次出现给出英文对照；公式块可直接背诵。This appendix is a cheat-sheet of the mathematical tools needed in this course. English terms are given on first mention; the formula blocks are worth memorizing.

1. 微积分基础 Calculus

1.1 导数 The Derivative

导数 (derivative) 描述函数的瞬时变化率。几何上是切线 (tangent line) 的斜率；物理上，位移对时间的导数是速度，速度的导数是加速度。

\[ f'(x) \;=\; \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}, \qquad \dv{f}{x}\equiv f'(x) \]
\[ \text{链式法则 chain rule:}\quad \dv{}{x}f(g(x)) \;=\; f'(g(x))\,g'(x) \]

1.2 求导法则 Rules of Differentiation

\[ \begin{aligned} \text{和差 sum/diff:}&\quad \dv{}{x}(u\pm v)=u'\pm v'\\[2pt] \text{积 product:}&\quad \dv{}{x}(uv)=u'v+uv'\\[2pt] \text{商 quotient:}&\quad \dv{}{x}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\\[2pt] \text{链式 chain:}&\quad \dv{}{x}f(g)=f'(g)\,g' \end{aligned} \]

1.3 常用导数 Common Derivatives

函数 \(f(x)\) 导数 \(f'(x)\) 备注 Note
\(c\) (常数 constant)\(0\)—
\(x^{n}\)\(n\,x^{\,n-1}\)幂法则 power rule, \(n\in\mathbb{R}\)
\(\sin x\)\(\cos x\)—
\(\cos x\)\(-\sin x\)注意负号 mind the sign
\(\tan x\)\(\sec^{2} x\)\(\sec x=1/\cos x\)
\(e^{x}\)\(e^{x}\)自身不变 invariant
\(a^{x}\)\(a^{x}\ln a\)—
\(\ln x\)\(1/x\)\(x>0\)
\(\log_{a} x\)\(\dfrac{1}{x\ln a}\)换底 change of base
\(\arctan x\)\(\dfrac{1}{1+x^{2}}\)—

1.4 积分 The Integral

不定积分 (indefinite integral) 是导数的逆运算：求 \(F\) 使 \(F'=f\)。定积分 (definite integral) 是黎曼和 (Riemann sum) 的极限，几何上表示曲线下方的有向面积 (signed area)。

\[ \int f(x)\,dx = F(x)+C,\qquad F'(x)=f(x) \]
\[ \int_{a}^{b} f(x)\,dx \;=\; \lim_{N\to\infty}\sum_{i=1}^{N} f(x_i^{*})\,\Delta x \]

1.5 微积分基本定理 Fundamental Theorem of Calculus

基本定理把微分与积分联系起来 (links differentiation and integration)：

\[ \int_{a}^{b} \dv{F}{x}\,dx \;=\; F(b)-F(a), \qquad \dv{}{x}\!\int_{a}^{x} f(t)\,dt = f(x) \]

1.6 常用积分 Common Integrals

以下均省略任意常数 \(C\)。换元法 (substitution) 与分部积分 (integration by parts, \(\int u\,dv=uv-\int v\,du\)) 是计算的两大利器。

被积函数 Integrand 原函数 Antiderivative 条件 Condition
\(x^{n}\)\(\dfrac{x^{\,n+1}}{n+1}\)\(n\neq -1\)
\(x^{-1}\)\(\ln|x|\)\(x\neq 0\)
\(e^{x}\)\(e^{x}\)—
\(\cos x\)\(\sin x\)—
\(\sin x\)\(-\cos x\)注意负号 mind the sign
\(\sec^{2} x\)\(\tan x\)—
\(\dfrac{1}{a^{2}+x^{2}}\)\(\dfrac{1}{a}\arctan\!\dfrac{x}{a}\)\(a>0\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\)\(\arcsin\!\dfrac{x}{a}\)\(|x|
\(\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}}\)\(\ln\!\bigl|x+\sqrt{x^{2}\pm a^{2}}\bigr|\)双曲代换 hyperbolic sub.
derivative (导数), tangent line (切线), antiderivative (原函数), definite integral (定积分), Riemann sum (黎曼和), fundamental theorem of calculus (微积分基本定理), substitution (换元法), integration by parts (分部积分)

2. 泰勒级数 Taylor Series

泰勒级数 (Taylor series) 把一个充分光滑的函数在某点 \(a\) 附近展开为幂级数 (power series)。它是物理中做线性化 / 小量近似的核心工具。

\[ f(x) \;=\; \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^{n} \;=\; f(a)+f'(a)(x-a)+\tfrac{1}{2}f''(a)(x-a)^{2}+\cdots \]

\(a=0\) 时称为麦克劳林级数 (Maclaurin series)。下面是最常用的若干展开（均在 \(x=0\) 处）：

函数 Function 级数展开 Series 收敛域 Convergence
\(e^{x}\)\(1+x+\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{3}}{3!}+\cdots\)所有 \(x\) all \(x\)
\(\sin x\)\(x-\dfrac{x^{3}}{3!}+\dfrac{x^{5}}{5!}-\cdots\)所有 \(x\)
\(\cos x\)\(1-\dfrac{x^{2}}{2!}+\dfrac{x^{4}}{4!}-\cdots\)所有 \(x\)
\(\dfrac{1}{1-x}\)\(1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots\)\(|x|<1\)
\((1+x)^{n}\)\(1+nx+\dfrac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\cdots\)二项式 binomial, \(|x|<1\)
\(\ln(1+x)\)\(x-\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{3}-\cdots\)\(-1

2.1 小角近似 Small-Angle Approximations

当角度 \(\theta\)（以弧度 radian 为单位）很小时，保留泰勒展开的首项：

\[ \sin\theta \approx \theta, \qquad \cos\theta \approx 1-\frac{\theta^{2}}{2}, \qquad \tan\theta \approx \theta \qquad (\theta \ll 1\,\mathrm{rad}) \]
物理意义 Why it matters in physics：单摆方程 \(\ddot{\theta}+\tfrac{g}{L}\sin\theta=0\) 在小角下化为 \(\ddot{\theta}+\omega^{2}\theta=0\)（简谐运动）；相对论中 \((1-v^{2}/c^{2})^{-1/2}\approx 1+\tfrac{1}{2}(v/c)^{2}\) 给出经典动能修正。线性化 (linearization) 几乎是推导任何“小振动”问题的第一步。
Taylor series (泰勒级数), Maclaurin series (麦克劳林级数), power series (幂级数), small-angle approximation (小角近似), linearization (线性化)

3. 多元与偏导 Multivariable & Partial Derivatives

偏导数 (partial derivative) \(\pdv{f}{x}\) 是固定其它变量、只对 \(x\) 求导。它表示沿坐标轴方向的变化率。

\[ \pdv{f}{x} \;=\; \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,\,y,\,z)-f(x,\,y,\,z)}{\Delta x} \]

3.1 梯度与全微分 Gradient & Total Differential

梯度 (gradient) 把标量场 \(f\) 映射为矢量场，指向 \(f\) 增加最快方向；全微分 (total differential) \(df\) 描述沿任意路径的微小变化。

\[ \nabla f \;=\; \pdv{f}{x}\,\hat{\imath}+\pdv{f}{y}\,\hat{\jmath}+\pdv{f}{z}\,\hat{k} \]
\[ df \;=\; \pdv{f}{x}\,dx+\pdv{f}{y}\,dy+\pdv{f}{z}\,dz \]

3.2 多元链式法则 Multivariable Chain Rule

若 \(f=f(x,y)\) 而 \(x=x(t),\,y=y(t)\)，则 \(f\) 沿路径对 \(t\) 的全变化率为

\[ \dv{f}{t} \;=\; \pdv{f}{x}\dv{x}{t}+\pdv{f}{y}\dv{y}{t} \]

3.3 多重积分 Multiple Integrals

二重/三重积分 (double / triple integral) 把一维面积推广到体积、质量、转动惯量等。可逐次 (iterated) 计算，必要时用换元法（如极坐标）。

\[ \iint_{R} f(x,y)\,dA \;=\; \int_{a}^{b}\!\int_{c(x)}^{d(x)} f(x,y)\,dy\,dx \]

在极坐标 (polar) 下 \(dA = r\,dr\,d\theta\)；在球坐标 (spherical) 下 \(dV = r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi\)。

partial derivative (偏导数), gradient (梯度), total differential (全微分), chain rule (链式法则), double integral (二重积分), iterated integral (逐次积分)

4. 矢量 Vectors

4.1 分量、模、单位矢量 Components, Magnitude, Unit Vectors

三维矢量 \(\vec{A}\) 在直角坐标 (Cartesian) 下分解为

\[ \vec{A} \;=\; A_{x}\,\hat{\imath}+A_{y}\,\hat{\jmath}+A_{z}\,\hat{k},\qquad \lvert\vec{A}\rvert=\sqrt{A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}} \]

单位矢量 (unit vector) \(\hat{A}=\vec{A}/\lvert\vec{A}\rvert\) 给出方向、长度为 1。

4.2 点积与投影 Dot Product & Projection

点积 (dot/scalar product) 是一个标量，衡量两矢量的同向程度。

\[ \vec{A}\cdot\vec{B} \;=\; \lvert\vec{A}\rvert\,\lvert\vec{B}\rvert\cos\theta \;=\; A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z} \]

\(\vec{A}\) 在 \(\vec{B}\) 方向上的投影 (projection)：标量分量 \(A_{\parallel}=\vec{A}\cdot\hat{B}\)；矢量投影 \(\mathrm{proj}_{\vec{B}}\vec{A}=(\vec{A}\cdot\hat{B})\,\hat{B}=\dfrac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\lvert\vec{B}\rvert^{2}}\vec{B}\)。两矢量垂直 iff \(\vec{A}\cdot\vec{B}=0\)。

4.3 叉积 Cross Product

叉积 (cross/vector product) 是一个矢量，方向由右手定则 (right-hand rule) 给出，与 \(\vec{A},\vec{B}\) 都垂直。

\[ \lvert\vec{A}\times\vec{B}\rvert \;=\; \lvert\vec{A}\rvert\,\lvert\vec{B}\rvert\sin\theta, \qquad \vec{A}\times\vec{B}=-\,\vec{B}\times\vec{A} \]
\[ \vec{A}\times\vec{B} \;=\; \begin{vmatrix}\hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k}\\[2pt] A_{x} & A_{y} & A_{z}\\[2pt] B_{x} & B_{y} & B_{z}\end{vmatrix} \;=\; (A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y})\,\hat{\imath}-(A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x})\,\hat{\jmath}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x})\,\hat{k} \]

4.4 三重积 Triple Products

\[ \text{标量三重积 scalar triple:}\quad \vec{A}\cdot(\vec{B}\times\vec{C}) \;=\; \text{平行六面体体积 (volume)} \]
\[ \text{矢量三重积 vector triple (BAC-CAB):}\quad \vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C}) \;=\; \vec{B}\,(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}\,(\vec{A}\cdot\vec{B}) \]

4.5 矢量微分算符 ∇ (Del / Nabla)

算符 \(\nabla=\hat{\imath}\pdv{}{x}+\hat{\jmath}\pdv{}{y}+\hat{k}\pdv{}{z}\) 统一了三种场运算：

\[ \begin{aligned} \text{梯度 gradient:}&\quad \nabla f \;\;(\text{标量}\to\text{矢量})\\[2pt] \text{散度 divergence:}&\quad \nabla\cdot\vec{F} \;=\; \pdv{F_{x}}{x}+\pdv{F_{y}}{y}+\pdv{F_{z}}{z}\;\;(\text{矢量}\to\text{标量})\\[2pt] \text{旋度 curl:}&\quad \nabla\times\vec{F} \;\;(\text{矢量}\to\text{矢量}) \end{aligned} \]

拉普拉斯算子 (Laplacian) 是散度的梯度，作用于标量场：\(\nabla^{2} f \;=\; \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}\)。散度衡量场源的”净流出” (net outflow)，旋度衡量场的”环量” (circulation)。常见恒等式：\(\nabla\times(\nabla f)=\vec{0}\)，\(\nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0\)。

vector (矢量), magnitude (模), unit vector (单位矢量), dot product (点积), projection (投影), cross product (叉积), right-hand rule (右手定则), scalar triple product (标量三重积), del/nabla (算符 ∇), gradient (梯度), divergence (散度), curl (旋度), Laplacian (拉普拉斯算子)

5. 三角与复数 Trigonometry & Complex Numbers

5.1 常用恒等式 Key Trig Identities

\[ \sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,\qquad 1+\tan^{2}\theta=\sec^{2}\theta,\qquad 1+\cot^{2}\theta=\csc^{2}\theta \]
\[ \sin(A\pm B)=\sin A\cos B\pm\cos A\sin B,\qquad \cos(A\pm B)=\cos A\cos B\mp\sin A\sin B \]
\[ \sin(2A)=2\sin A\cos A, \qquad \cos(2A)=\cos^{2}\!A-\sin^{2}\!A=2\cos^{2}\!A-1=1-2\sin^{2}\!A \]
\[ \text{和化积 sum-to-product:}\quad \sin A+\sin B=2\sin\!\tfrac{A+B}{2}\cos\!\tfrac{A-B}{2} \]
\[ \text{半角 half-angle:}\quad \sin^{2}\!\tfrac{\theta}{2}=\tfrac{1-\cos\theta}{2},\qquad \cos^{2}\!\tfrac{\theta}{2}=\tfrac{1+\cos\theta}{2} \]

5.2 复数与欧拉公式 Complex Numbers & Euler's Formula

复数 \(z=a+bi\)（\(i^{2}=-1\)）有模 \(|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) 与共轭 (conjugate) \(z^{*}=a-bi\)。欧拉公式 (Euler's formula) 把指数与三角联系起来，是振动、波、量子力学的记号基石。

\[ e^{i\theta} \;=\; \cos\theta+i\sin\theta,\qquad z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,e^{i\theta} \]
\[ |z|^{2}=z\,z^{*}=a^{2}+b^{2},\qquad z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}\,e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})},\qquad \dv{z}{t}\;\text{便于表振荡} \]

实振动 \(x(t)=A\cos(\omega t+\phi)\) 可视为 \(A e^{i(\omega t+\phi)}\) 的实部；这使线性 ODE 的求解大大简化（用 \(e^{i\omega t}\) 代替 \(\sin/\cos\)）。

identity (恒等式), double-angle (倍角), half-angle (半角), complex number (复数), modulus (模), conjugate (共轭), Euler's formula (欧拉公式), polar form (极坐标形式)

6. 常微分方程 Ordinary Differential Equations (ODE)

常微分方程 (ODE) 是联系未知函数 \(y(x)\) 及其各阶导数的方程。阶数 (order) = 出现的最高阶导数。物理定律大多以 ODE 形式出现（牛顿第二定律本身就是一个二阶 ODE）。

6.1 可分离变量的一阶 ODE Separable First-Order

若能写成 \(\dv{y}{x}=f(x)\,g(y)\)，则分离变量后两边积分 (separate and integrate)：

\[ \int \frac{dy}{g(y)} \;=\; \int f(x)\,dx \;+\; C \]

6.2 简谐振子 The Harmonic Oscillator

简谐运动方程 (simple harmonic oscillator) 是物理中最重要的线性 ODE 之一：

\[ \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\omega^{2}x \;=\; 0 \]

猜测解 \(x\propto e^{rt}\) 得特征方程 \(r^{2}+\omega^{2}=0\)，根 \(r=\pm i\omega\)。通解 (general solution)：

\[ x(t) \;=\; C_{1}\cos(\omega t)+C_{2}\sin(\omega t) \;=\; A\cos(\omega t+\phi) \]

两个任意常数 \(C_{1},C_{2}\)（或 \(A,\phi\)）由初始条件 (initial conditions) \(x(0)=x_{0},\;\dot{x}(0)=v_{0}\) 确定：

\[ A=\sqrt{x_{0}^{2}+\left(\tfrac{v_{0}}{\omega}\right)^{2}},\qquad \phi=\arctan\!\left(-\frac{v_{0}}{\omega x_{0}}\right) \]
ordinary differential equation (常微分方程), order (阶), separable (可分离变量), general solution (通解), initial condition (初始条件), harmonic oscillator (简谐振子)

7. 坐标变换 Coordinate Transformations

7.1 平面：直角 ↔ 极坐标 Cartesian ↔ Polar (2D)

\[ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta \]
\[ r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad \theta=\arctan\!\left(\frac{y}{x}\right)\;\;\text{(用象限修正 quadrant correction)} \]

位置矢量 \(\vec{r}=r\,\hat{r}\)。注意 \(\hat{r}=\cos\theta\,\hat{\imath}+\sin\theta\,\hat{\jmath}\) 与 \(\hat{\theta}=-\sin\theta\,\hat{\imath}+\cos\theta\,\hat{\jmath}\) 是随时间变化的单位基，因此求速度要小心：

\[ \vec{v} \;=\; \dot{r}\,\hat{r}+r\dot{\theta}\,\hat{\theta},\qquad \vec{a}=\bigl(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\bigr)\hat{r}+\bigl(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}\bigr)\hat{\theta} \]

7.2 三维：柱坐标与球坐标 Cylindrical & Spherical

柱坐标 (cylindrical)：在极坐标基础上加 \(z\)，体积元 \(dV=r\,dr\,d\theta\,dz\)。

\[ \text{球坐标 spherical:}\quad x=r\sin\theta\cos\phi,\;\; y=r\sin\theta\sin\phi,\;\; z=r\cos\theta,\;\; dV=r^{2}\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi \]
Cartesian coordinates (直角坐标), polar coordinates (极坐标), cylindrical coordinates (柱坐标), spherical coordinates (球坐标), azimuthal angle (方位角), polar angle (极角)

速查要点 Quick Take-Aways